📝 题目
9．求下列微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 \mathrm{e}^{x}$ ； （2） $2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=5 x^{2}-2 x-1$ ； （3）$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=5 \mathrm{e}^{-x}$ ； （4）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ ； （5）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=7 \mathrm{e}^{-x}$ ； （6）$y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{2 x}$ ； （7）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ； （8） $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \mathrm{e}^{x}$ ； （9）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=4 \sin x$ ； （10）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\cos 2 x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们依次求解各题，均为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解形式为： $$ y = y_h + y_p $$ 其中 $y_h$ 为对应齐次方程通解，$y_p$ 为非齐次特解。
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### （1）$y'' + y' - 2y = 2e^x$
**齐次方程**：特征方程 $$ r^2 + r - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r+2)(r-1)=0 $$ 根：$r_1 = -2,\ r_2 = 1$ 齐次通解： $$ y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} $$
**非齐次项**：$2e^x$，而 $e^x$ 已是齐次解，故设特解形式： $$ y_p = A x e^{x} $$ 求导： $$ y_p' = A e^{x}(x+1),\quad y_p'' = A e^{x}(x+2) $$ 代入原方程： $$ A e^{x}(x+2) + A e^{x}(x+1) - 2A x e^{x} = 2e^{x} $$ 化简： $$ A e^{x}[(x+2)+(x+1)-2x] = A e^{x}(3) = 2e^{x} $$ 得 $A = \frac{2}{3}$。
**通解**： $$ \boxed{y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} + \frac{2}{3}x e^{x}} $$
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### （2）$2y'' + 5y' = 5x^2 - 2x - 1$
**齐次方程**：特征方程 $$ 2r^2 + 5r = 0 \quad\Rightarrow\quad r(2r+5)=0 $$ 根：$r_1=0,\ r_2=-\frac{5}{2}$ 齐次通解： $$ y_h = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}x} $$
**非齐次项**：多项式 $5x^2 - 2x - 1$，因 $r=0$ 是单根，故设： $$ y_p = x(Ax^2 + Bx + C) = A x^3 + B x^2 + C x $$ 求导： $$ y_p' = 3A x^2 + 2B x + C,\quad y_p'' = 6A x + 2B $$ 代入： $$ 2(6A x + 2B) + 5(3A x^2 + 2B x + C) = 5x^2 - 2x - 1 $$ 即： $$ (15A)x^2 + (12A + 10B)x + (4B + 5C) = 5x^2 - 2x - 1 $$ 比较系数： $$ 15A = 5 \Rightarrow A = \frac{1}{3} $$ $$ 12A + 10B = -2 \Rightarrow 4 + 10B = -2 \Rightarrow B = -\frac{3}{5} $$ $$ 4B + 5C = -1 \Rightarrow -\frac{12}{5} + 5C = -1 \Rightarrow 5C = \frac{7}{5} \Rightarrow C = \frac{7}{25} $$ 特解： $$ y_p = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + \frac{7}{25}x $$
**通解**： $$ \boxed{y = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}x} + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + \frac{7}{25}x} $$
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### （3）$y'' + 2y' + y = 5e^{-x}$
**齐次方程**：特征方程 $$ r^2 + 2r + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r+1)^2=0 $$ 根：$r=-1$（二重根） 齐次通解： $$ y_h = (C_1 + C_2 x)e^{-x} $$
**非齐次项**：$5e^{-x}$，而 $e^{-x}$ 与 $x e^{-x}$ 均为齐次解，故设： $$ y_p = A x^2 e^{-x} $$ 求导： $$ y_p' = A e^{-x}(2x - x^2),\quad y_p'' = A e^{-x}(2 - 4x + x^2) $$ 代入： $$ A e^{-x}[(2 - 4x + x^2) + 2(2x - x^2) + x^2] = A e^{-x}(2) = 5e^{-x} $$ 得 $A = \frac{5}{2}$。
**通解**： $$ \boxed{y = (C_1 + C_2 x)e^{-x} + \frac{5}{2}x^2 e^{-x}} $$
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### （4）$y'' - 4y' + 4y = e^{-2x}$
**齐次方程**：特征方程 $$ r^2 - 4r + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-2)^2=0 $$ 根：$r=2$（二重根） 齐次通解： $$ y_h = (C_1 + C_2 x)e^{2x} $$
**非齐次项**：$e^{-2x}$，指数 $-2$ 不是特征根，设： $$ y_p = A e^{-2x} $$ 求导： $$ y_p' = -2A e^{-2x},\quad y_p'' = 4A e^{-2x} $$ 代入： $$ 4A e^{-2x} - 4(-2A e^{-2x}) + 4A e^{-2x} = (4A + 8A + 4A)e^{-2x} = 16A e^{-2x} = e^{-2x} $$ 得 $A = \frac{1}{16}$。
**通解**： $$ \boxed{y = (C_1 + C_2 x)e^{2x} + \frac{1}{16}e^{-2x}} $$
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### （5）$y'' - y' = 7e^{-x}$
**齐次方程**：特征方程 $$ r^2 - r = 0 \quad\Rightarrow\quad r(r-1)=0 $$ 根：$r=0,\ 1$ 齐次通解： $$ y_h = C_1 + C_2 e^{x} $$
**非齐次项**：$7e^{-x}$，指数 $-1$ 不是特征根，设： $$ y_p = A e^{-x} $$ 求导： $$ y_p' = -A e^{-x},\quad y_p'' = A e^{-x} $$ 代入： $$ A e^{-x} - (-A e^{-x}) = 2A e^{-x} = 7e^{-x} $$ 得 $A = \frac{7}{2}$。
**通解**： $$ \boxed{y = C_1 + C_2 e^{x} + \frac{7}{2}e^{-x}} $$
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### （6）$y'' - y = e^{2x}$
**齐次方程**：特征方程 $$ r^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 1 $$ 齐次通解： $$ y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} $$
**非齐次项**：$e^{2x}$，指数 $2$ 不是特征根，设： $$ y_p = A e^{2x} $$ 求导： $$ y_p' = 2A e^{2x},\quad y_p'' = 4A e^{2x} $$ 代入： $$ 4A e^{2x} - A e^{2x} = 3A e^{2x} = e^{2x} $$ 得 $A = \frac{1}{3}$。
**通解**： $$ \boxed{y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + \frac{1}{3}e^{2x}} $$
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### （7）$y'' - 6y' + 9y = e^{3x}$
**齐次方程**：特征方程 $$ r^2 - 6r + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-3