📝 题目
4．在 $O x$ 轴上，一质量为 $m$ 的质点受力 $A \cos \omega t$ 而运动，初始条件为 $\left.x\right|_{t=0}=a,\left.v\right|_{t=0}=$ 0 ，求该质点的运动方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知质点质量为 $m$，受力为 $F = A \cos \omega t$，根据牛顿第二定律：
$$ m \frac{d^2 x}{dt^2} = A \cos \omega t $$
即加速度：
$$ \frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{A}{m} \cos \omega t $$
先对时间积分一次得到速度：
$$ v(t) = \frac{dx}{dt} = \int \frac{A}{m} \cos \omega t \, dt $$
计算积分：
$$ v(t) = \frac{A}{m} \cdot \frac{1}{\omega} \sin \omega t + C_1 $$
由初始条件 $\left.v\right|_{t=0}=0$，代入得：
$$ 0 = \frac{A}{m\omega} \cdot 0 + C_1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 0 $$
所以速度表达式为：
$$ v(t) = \frac{A}{m\omega} \sin \omega t $$
再积分一次得到位移：
$$ x(t) = \int v(t) \, dt = \int \frac{A}{m\omega} \sin \omega t \, dt $$
计算积分：
$$ x(t) = -\frac{A}{m\omega^2} \cos \omega t + C_2 $$
由初始条件 $\left.x\right|_{t=0}=a$，代入得：
$$ a = -\frac{A}{m\omega^2} \cdot 1 + C_2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = a + \frac{A}{m\omega^2} $$
因此运动方程为：
$$ \boxed{x(t) = a + \frac{A}{m\omega^2} \left(1 - \cos \omega t\right)} $$
难度：★★☆☆☆