习题7-4

1．计算下列对面积的曲面积分． （1）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x+\frac{4}{3} y+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ 在第一卦限的部分； （2）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 被平面 $z=\frac{1}{2}$ 截取的顶部； （3）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} y \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $3 x+2 y+z=6$ 在第一卦限的部分； （4）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为圆雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分； （5）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x y-2 x^{2}-x+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $2 x+2 y+z=6$ 在第一卦限的部分； （6）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=2-x^{2}-y^{2}$ 在 $x O y$ 面上方的部分； （7）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \frac{1}{(1+x+y)^{2}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为以点 $(0,0,0),(1,0,0), ~(0,1,0)$, $(0,0,1)$ 为顶点的四面体的整个边界曲面； （8）$I=\oiint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z(a\gt 0)$ ； （9） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被 $x^{2}+y^{2}=2 a x(a\gt 0)$ 所截得的部分； （10）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{3} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 在圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 内的部分； （11） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}|x y z| \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为 $z=x^{2}+y^{2}(z \leqslant 1)$ 的部分； （12） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是界于平面 $z=0$ 及 $z=H$ 之间的圆柱面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ ．

2．计算下列对坐标的曲面积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x^{2} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的下半部分的下侧； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(y+1)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧在 $x \geqslant 0$ 的部分； （3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是圆雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分的下侧； （4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是平面 $3 x+2 y+z=6$ 在第一卦限部分的上侧； （5） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 被平面 $z=0$ 及 $z=3$ 截取的在第一卦限的部分的前侧； （6） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是抛物面 $x^{2}+y^{2}=z$ 被平面 $z=1$ 截取的在第一卦限的部分的前侧； （7） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 满足 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \leqslant 1$ 的那一部分的下侧； （8）$\oiint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant a$ ， $0 \leqslant y \leqslant b, 0 \leqslant z \leqslant c\}$ 整个边界面的外侧； （9）$\oiint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是三个坐标面与平面 $x+y+z=1$ 所围成的空间闭区域的整个边界面的外侧； （10）$\oiint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}$ 的外侧； （11）$\oiint_{\Sigma}-y^{2} z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=4$ 被平面 $z=0, x+z=2$ 所截的部分的外侧； （12）$\oiint_{\Sigma} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及平面 $z=1, z=2$ 所围立体表面的外侧； （13）$\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为球壳 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 的外侧．

3．求抛物面壳 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的质量，此壳的面密度为 $\rho=z$ ．

4．求匀质抛物面壳 $z=x^{2}+y^{2}\left(0 \leqslant z \leqslant \frac{1}{4}\right)$ 的质心。

5．设稳定的、不可压缩的流体的速度场为 $$ \boldsymbol{v}(x, y, z)=x z \boldsymbol{i}+x^{2} y \boldsymbol{j}+y^{2} z \boldsymbol{k}, $$ $\sum$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 的外侧被平面 $z=0, z=1$ 及 $x=0$ 截取的位于第一、四卦限的部 分，计算流体流向 $\sum$ 指定一侧的流量 $\Phi$ ．

6．把对坐标的曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 化为对面积的曲面积分，其中： （1）$\displaystyle{\sum}$ 是平面 $3 x+2 y+2 \sqrt{3} z=6$ 在第一卦限部分的上侧； （2）$\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分的下侧； （3）$\displaystyle{\sum}$ 是平面 $z+x=1$ 被柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 截取的部分的下侧； （4）$\displaystyle{\sum}$ 是抛物面 $y=2 x^{2}+z^{2}$ 被平面 $y=2$ 截取的部分的左侧。

7．利用两类曲面积分之间的联系，计算下列曲面积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 的外侧被平面 $z=1$截取的有限部分； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x+y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 的内侧被圆柱面 $x^{2}+y^{2}=x$ 截取的有限部分．

8．设 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $x-y+z=1$ 在第四卦限部分的上侧，函数 $f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle{\sum}$ 上连续，求 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma}(f(x, y, z)+x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 f(x, y, z)+y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(f(x, y, z)+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . $$