人邮高数 第1章 第1-1-4题
📝 题目
4．用区间表示适合下列不等式的变量 $x$ 的变化范围：
（1） $2\lt x \leqslant 6$ ；
（2）$|x|\lt 3$ ；
（3）$\displaystyle |x-2|\lt \frac{1}{10}$ ；
（4）$|x|\gt 100$ ；
（5） $0\lt |x-1|\lt 0.01$ ；
（6） $0\lt |x-2| \leqslant 5$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下是用区间表示各不等式中变量 $x$ 的变化范围，并附简要说明。
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（1） $2 < x \leqslant 6$
这是半开半闭区间，左端不包含2，右端包含6。
区间表示为：
$$
(2, 6]
$$
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（2） $|x| < 3$
绝对值不等式 $|x| < 3$ 等价于 $-3 < x < 3$，两端都不包含。
区间表示为：
$$
(-3, 3)
$$
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（3） $|x - 2| < \frac{1}{10}$
等价于 $-\frac{1}{10} < x - 2 < \frac{1}{10}$，即
$$
2 - \frac{1}{10} < x < 2 + \frac{1}{10}
$$
也就是
$$
1.9 < x < 2.1
$$
区间表示为：
$$
\left( \frac{19}{10}, \frac{21}{10} \right)
$$
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（4） $|x| > 100$
等价于 $x < -100$ 或 $x > 100$，两端都不包含。
区间表示为：
$$
(-\infty, -100) \cup (100, +\infty)
$$
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（5） $0 < |x - 1| < 0.01$
表示 $x$ 与1的距离大于0且小于0.01，即 $x \neq 1$ 且
$$
-0.01 < x - 1 < 0.01
$$
即
$$
0.99 < x < 1.01, \quad x \neq 1
$$
区间表示为两个开区间的并集：
$$
(0.99, 1) \cup (1, 1.01)
$$
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（6） $0 < |x - 2| \leqslant 5$
表示 $x$ 与2的距离大于0且小于等于5，即 $x \neq 2$ 且
$$
-5 \leqslant x - 2 \leqslant 5
$$
即
$$
-3 \leqslant x \leqslant 7, \quad x \neq 2
$$
区间表示为：
$$
[-3, 2) \cup (2, 7]
$$