人邮高数 第2章 第2-3-8题
📝 题目
8．当 $|x|$ 很小时，证明：
（1）$\displaystyle \sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n}$ ；
（2） $\sin x \approx x$ ；
（3） $\tan x \approx x$ ；
（4） $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x$ ；
（5） $\ln (1+x) \approx x$ ；
（6）$\displaystyle \sqrt{a^{2}+x} \approx a+\frac{x}{2 a}\left(a\gt 0,|x| \ll a^{2}\right)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的证明，利用函数在 $x=0$ 处的一阶泰勒展开（即微分近似公式 $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$，当 $|x|$ 很小时成立）。
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(1) 设 $\displaystyle f(x)=\sqrt[n]{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{n}}$，则
$f(0)=1$，
$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{n}(1+x)^{\frac{1}{n}-1}$，
$\displaystyle f'(0)=\frac{1}{n}$。
由一阶近似：
$$f(x)\approx f(0)+f'(0)x = 1+\frac{1}{n}x$$
即
$$\sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{x}{n}$$
（注意原题写为 $\displaystyle 1+\frac{1}{n}$ 可能漏了 $x$，正确应为 $\displaystyle 1+\frac{x}{n}$。）
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(2) 设 $f(x)=\sin x$，则
$f(0)=0$，$f'(x)=\cos x$，$f'(0)=1$。
故
$$\sin x \approx 0+1\cdot x = x$$
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(3) 设 $f(x)=\tan x$，则
$f(0)=0$，$f'(x)=\sec^2 x$，$f'(0)=1$。
故
$$\tan x \approx x$$
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(4) 设 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$，则
$f(0)=1$，$f'(x)=\mathrm{e}^{x}$，$f'(0)=1$。
故
$$\mathrm{e}^{x} \approx 1+x$$
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(5) 设 $f(x)=\ln(1+x)$，则
$f(0)=0$，$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x}$，$f'(0)=1$。
故
$$\ln(1+x) \approx x$$
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(6) 设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{a^{2}+x}=(a^{2}+x)^{\frac{1}{2}}$，$a>0$，且 $|x|\ll a^{2}$。
则
$f(0)=a$，
$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}(a^{2}+x)^{-\frac{1}{2}}$，
$\displaystyle f'(0)=\frac{1}{2a}$。
故
$$\sqrt{a^{2}+x} \approx a+\frac{x}{2a}$$
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以上证明均基于一阶泰勒展开在 $x=0$ 附近的线性近似，当 $|x|$ 很小时误差为 $O(x^{2})$。