人邮高数第2章第2-3-9题

教材习题

📝 题目

9．利用微分求近似值：
（1） $\mathrm{e}^{1.01}$ ；
（2） $\cos 151^{\circ}$ ；
（3）$\sqrt[3]{1.02}$ ；
（4） $\lg 11$ ；
（5） $\arcsin 0.5002$ ；
（6） $\tan 45^{\prime}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

**（1）$\mathrm{e}^{1.01}$**
取函数 $f(x) = e^x$，已知 $f'(x) = e^x$。
取 $x_0 = 1$，$\Delta x = 0.01$，则
$$f(1.01) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x = e^1 + e^1 \cdot 0.01 = e(1 + 0.01) = 2.71828 \times 1.01 \approx 2.7455.$$

**（2）$\cos 151^\circ$**
先将角度化为弧度：$151^\circ = 150^\circ + 1^\circ$，而 $\displaystyle 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$，$\displaystyle 1^\circ = \frac{\pi}{180}$ 弧度。
取 $f(x) = \cos x$，$f'(x) = -\sin x$。
令 $\displaystyle x_0 = \frac{5\pi}{6}$，$\displaystyle \Delta x = \frac{\pi}{180}$，则
$$\cos 151^\circ \approx \cos\frac{5\pi}{6} + \left(-\sin\frac{5\pi}{6}\right) \cdot \frac{\pi}{180}.$$
已知 $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660254$，$\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6} = \frac12$，
所以
$$\cos 151^\circ \approx -0.8660254 - \frac12 \cdot 0.0174533 \approx -0.8660254 - 0.00872665 \approx -0.874752.$$

**（3）$\sqrt[3]{1.02}$**
取 $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$，$\displaystyle f'(x) = \frac13 x^{-2/3}$。
令 $x_0 = 1$，$\Delta x = 0.02$，则
$$\sqrt[3]{1.02} \approx f(1) + f'(1) \cdot 0.02 = 1 + \frac13 \cdot 1 \cdot 0.02 = 1 + 0.0066667 \approx 1.006667.$$

**（4）$\lg 11$**
$\lg x = \log_{10} x$，导数 $\displaystyle (\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$。
取 $x_0 = 10$，$\Delta x = 1$，则
$$\lg 11 \approx \lg 10 + \frac{1}{10 \ln 10} \cdot 1.$$
已知 $\lg 10 = 1$，$\ln 10 \approx 2.302585$，所以
$$\frac{1}{10 \ln 10} \approx \frac{1}{23.02585} \approx 0.043429,$$
因此 $\lg 11 \approx 1 + 0.04343 = 1.04343$（精确值约1.04139，近似合理）。

**（5）$\arcsin 0.5002$**
取 $f(x) = \arcsin x$，$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
令 $x_0 = 0.5$，$\Delta x = 0.0002$，则
$$\arcsin 0.5002 \approx \arcsin 0.5 + \frac{1}{\sqrt{1-0.5^2}} \cdot 0.0002.$$
$\displaystyle \arcsin 0.5 = \frac{\pi}{6} \approx 0.5235988$，$\sqrt{1-0.25} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660254$，
所以
$$\frac{1}{0.8660254} \approx 1.1547005,$$
乘以 $0.0002$ 得 $0.00023094$，
因此 $\arcsin 0.5002 \approx 0.5235988 + 0.0002309 \approx 0.5238297$ 弧度。

**（6）$\tan 45'$**
$45'$ 即 $45$ 角分 $\displaystyle = \frac{45}{60}^\circ = 0.75^\circ$，化为弧度：$\displaystyle 0.75 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.01308997$ 弧度。
取 $f(x) = \tan x$，$f'(x) = \sec^2 x$。
令 $x_0 = 0$，$\Delta x = 0.01308997$，则
$$\tan 45' \approx \tan 0 + \sec^2 0 \cdot 0.01308997 = 0 + 1 \cdot 0.01308997 \approx 0.01309.$$
（精确值 $\tan 0.75^\circ \approx 0.0130907$，吻合。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/6

目标：计算e^{1.01}的近似值

取函数f(x)=e^x，f'(x)=e^x。令x0=1，Δx=0.01，则f(1.01)≈f(1)+f'(1)·Δx=e^1+e^1·0.01=e(1+0.01)=2.71828×1.01≈2.7455。