人邮高数 第2章 第2-4-3题

[AI解答]

[AI解答]

（1） 已知
$f(x)=x^{2}$，$F(x)=\sqrt{x}$，区间 $[1,4]$。
首先验证柯西中值定理条件：$f,F$ 在 $[1,4]$ 上连续，在 $(1,4)$ 内可导，且 $\displaystyle F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\neq 0$ 在 $(1,4)$ 内成立。

由柯西公式：
$$
\frac{f(4)-f(1)}{F(4)-F(1)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)},\quad \xi\in(1,4).
$$

计算：
$$
f(4)=16,\quad f(1)=1,\quad f(4)-f(1)=15,
$$
$$
F(4)=\sqrt{4}=2,\quad F(1)=\sqrt{1}=1,\quad F(4)-F(1)=1.
$$
所以左端为：
$$
\frac{15}{1}=15.
$$

又：
$$
f'(x)=2x,\quad F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
$$
于是右端为：
$$
\frac{2\xi}{\frac{1}{2\sqrt{\xi}}}=2\xi\cdot 2\sqrt{\xi}=4\xi^{3/2}.
$$

令其等于15：
$$
4\xi^{3/2}=15 \quad\Rightarrow\quad \xi^{3/2}=\frac{15}{4}.
$$
两边平方得：
$$
\xi^{3}=\frac{225}{16}\quad\Rightarrow\quad \xi=\left(\frac{225}{16}\right)^{1/3}=\frac{225^{1/3}}{16^{1/3}}.
$$
化简：
$$
225=15^{2},\quad 16=2^{4},
$$
所以：
$$
\xi=\frac{15^{2/3}}{2^{4/3}}=\left(\frac{15^{2}}{2^{4}}\right)^{1/3}=\left(\frac{225}{16}\right)^{1/3}.
$$
数值上 $\xi\approx 2.41$，在 $(1,4)$ 内。

因此：
$$
\boxed{\xi=\left(\frac{225}{16}\right)^{1/3}}.
$$

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（2）
已知
$f(x)=\sin x$，$F(x)=\cos x$，区间 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$。
在 $\displaystyle (0,\frac{\pi}{2})$ 内，$F'(x)=-\sin x\neq 0$（除端点外），满足条件。

柯西公式：
$$
\frac{f(\frac{\pi}{2})-f(0)}{F(\frac{\pi}{2})-F(0)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)},\quad \xi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
$$

计算：
$$
f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,\quad f(0)=0,\quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)-f(0)=1,
$$
$$
F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0,\quad F(0)=\cos 0=1,\quad F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)=-1.
$$
左端为：
$$
\frac{1}{-1}=-1.
$$

又：
$$
f'(x)=\cos x,\quad F'(x)=-\sin x.
$$
右端为：
$$
\frac{\cos\xi}{-\sin\xi}=-\cot\xi.
$$

令其等于 $-1$：
$$
-\cot\xi = -1 \quad\Rightarrow\quad \cot\xi = 1.
$$
在 $\displaystyle (0,\frac{\pi}{2})$ 内，$\cot\xi=1$ 的解为：
$$
\xi = \frac{\pi}{4}.
$$

因此：
$$
\boxed{\xi=\frac{\pi}{4}}.
$$