人邮高数 第2章 第2-6-1题

[AI解答]

[AI解答]

以下为各小题的详细解答，均通过求导并分析导数的符号来确定单调区间。

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（1）$y=2+x-x^{2}$

求导：
$$
y' = 1 - 2x
$$
令 $y'=0$ 得 $\displaystyle x=\frac12$。
当 $\displaystyle x<\frac12$ 时，$y'>0$；当 $\displaystyle x>\frac12$ 时，$y'<0$。

因此：
- 单调递增区间：$\displaystyle(-\infty,\frac12)$
- 单调递减区间：$\displaystyle(\frac12,+\infty)$

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（2）$\displaystyle y=\frac{2x}{1+x^{2}}$

求导：
$$
y' = \frac{2(1+x^2) - 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}
$$
令 $y'=0$ 得 $x=\pm1$。

- 当 $x<-1$ 时，$y'<0$；
- 当 $-10$；
- 当 $x>1$ 时，$y'<0$。

因此：
- 单调递减区间：$\displaystyle(-\infty,-1)$ 和 $\displaystyle(1,+\infty)$
- 单调递增区间：$\displaystyle(-1,1)$

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（3）$\displaystyle y=2x+\frac{8}{x}\quad(x>0)$

求导：
$$
y' = 2 - \frac{8}{x^2}
$$
令 $y'=0$ 得 $\displaystyle 2 = \frac{8}{x^2} \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2$（因 $x>0$）。

- 当 $0- 当 $x>2$ 时，$y'>0$。

因此：
- 单调递减区间：$\displaystyle(0,2)$
- 单调递增区间：$\displaystyle(2,+\infty)$

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（4）$y=2x^{2}-\ln x$

定义域：$x>0$。
求导：
$$
y' = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^2 - 1}{x}
$$
令 $y'=0$ 得 $\displaystyle 4x^2-1=0 \Rightarrow x=\frac12$（正根）。

- 当 $\displaystyle 0- 当 $\displaystyle x>\frac12$ 时，$y'>0$。

因此：
- 单调递减区间：$\displaystyle(0,\frac12)$
- 单调递增区间：$\displaystyle(\frac12,+\infty)$

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（5）$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x}}{x+100}\quad(x\ge 0)$

求导（使用商法则）：
$$
y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+100) - \sqrt{x}\cdot 1}{(x+100)^2}
= \frac{\frac{x+100}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+100)^2}
= \frac{x+100 - 2x}{2\sqrt{x}(x+100)^2}
= \frac{100 - x}{2\sqrt{x}(x+100)^2}
$$
令 $y'=0$ 得 $x=100$。

- 当 $0\le x<100$ 时，$y'>0$；
- 当 $x>100$ 时，$y'<0$。

因此：
- 单调递增区间：$\displaystyle[0,100)$
- 单调递减区间：$\displaystyle(100,+\infty)$

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（6）$y=x+\sin x$

求导：
$$
y' = 1 + \cos x
$$
由于 $\cos x \ge -1$，所以 $1+\cos x \ge 0$，且仅在 $\cos x = -1$ 即 $x=(2k+1)\pi$ 时导数为0，其余点均大于0。

因此函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，无严格递减区间。

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（7）$f(x)=x-\arctan x$

定义域：$\mathbb{R}$。
求导：
$$
f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} \ge 0
$$
等号仅在 $x=0$ 时成立，其余点均大于0。

因此函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

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（8）$y=x^{2}-\ln x^{2}$

注意 $x^2>0$ 即 $x\neq0$，定义域为 $x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
化简：$\ln x^2 = 2\ln|x|$，因此：
$$
y = x^2 - 2\ln|x|
$$
分段求导：
- 当 $x>0$ 时，$\displaystyle y' = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2(x^2-1)}{x}$
令 $y'=0$ 得 $x=1$（正根）。
当 $01$ 时 $y'>0$。
- 当 $x<0$ 时，令 $t=-x>0$，则 $y=t^2-2\ln t$，导数形式相同，但注意 $x$ 为负时，$\displaystyle y' = 2x - \frac{2}{x}$ 仍然成立（因为 $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac1x$）。
令 $y'=0$ 得 $x=-1$。
当 $x<-1$ 时 $y'>0$，当 $-1

因此：
- 单调递增区间：$\displaystyle(-1,0)$ 和 $\displaystyle(1,+\infty)$
- 单调递减区间：$\displaystyle(-\infty,-1)$ 和 $\displaystyle(0,1)$

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以上为全部解答。