人邮高数 第2章 第2-6-15题

[AI解答]

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以下为各小题的作图分析，包括定义域、奇偶性、单调性、极值、渐近线等，并给出函数图形特征描述。

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（1）$\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}$

- 定义域：$\mathbb{R}$
- 奇偶性：偶函数，因为 $f(-x)=f(x)$
- 单调性：
$y' = \displaystyle{}-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$
当 $x<0$ 时 $y'>0$，函数递增；当 $x>0$ 时 $y'<0$，函数递减。
- 极值：$x=0$ 处取得极大值 $y=1$
- 渐近线：当 $x\to\pm\infty$，$y\to 0$，有水平渐近线 $y=0$
- 图形特征：钟形曲线，对称于 $y$ 轴，最高点 $(0,1)$。

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（2）$y=x \mathrm{e}^{-x}$

- 定义域：$\mathbb{R}$
- 奇偶性：非奇非偶
- 单调性：
$y' = \mathrm{e}^{-x} - x\mathrm{e}^{-x} = (1-x)\mathrm{e}^{-x}$
当 $x<1$ 时 $y'>0$，递增；当 $x>1$ 时 $y'<0$，递减。
- 极值：$x=1$ 处极大值 $y=\displaystyle{}\frac{1}{\mathrm{e}}$
- 渐近线：当 $x\to +\infty$，$y\to 0$（水平渐近线 $y=0$）；当 $x\to -\infty$，$y\to -\infty$
- 图形特征：从第三象限上升至第一象限，过原点，在 $x=1$ 处达到最高，然后衰减趋近0。

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（3）$y=x \sqrt{3-x}$

- 定义域：$x \le 3$
- 奇偶性：非奇非偶
- 单调性：
$y' = \sqrt{3-x} + x \cdot \displaystyle{}\frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{2(3-x)-x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}$
当 $x<2$ 时 $y'>0$，递增；当 $2- 极值：$x=2$ 处极大值 $y=2\sqrt{1}=2$
- 端点：$x=3$ 时 $y=0$；$x\to -\infty$，$y\to -\infty$
- 图形特征：从左侧向下延伸，上升到 $(2,2)$ 后下降至 $(3,0)$。

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（4）$y=\sqrt[3]{x^{2}}+2$

- 定义域：$\mathbb{R}$
- 奇偶性：偶函数，因为 $x^2$ 偶，立方根保持偶性
- 单调性：
$y' = \displaystyle{}\frac{2}{3}x^{-1/3}$，当 $x>0$ 时 $y'>0$，递增；当 $x<0$ 时 $y'<0$，递减。
- 极值：$x=0$ 处极小值 $y=2$
- 渐近线：无水平或垂直渐近线
- 图形特征：类似抛物线但更平缓，最低点 $(0,2)$，两侧对称上升。

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（5）$\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{x}$

- 定义域：$x \neq 0$
- 奇偶性：非奇非偶
- 单调性：
$y' = 2x - \displaystyle{}\frac{1}{x^2} = \frac{2x^3-1}{x^2}$
令 $2x^3-1=0$ 得 $\displaystyle x=\sqrt[3]{\frac12}$
当 $x<0$ 时 $y'<0$（递减）；当 $0\sqrt[3]{1/2}$ 时 $y'>0$
- 极值：$x=\sqrt[3]{1/2}$ 处极小值 $\displaystyle y=\left(\frac12\right)^{2/3}+2^{1/3}$
- 渐近线：$x=0$ 为垂直渐近线（$y\to \pm\infty$）
- 图形特征：两支曲线，左侧下降至负无穷，右侧先减后增。

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（6）$\displaystyle y=\frac{3 x}{(x+1)^{2}}-2$

- 定义域：$x \neq -1$
- 奇偶性：非奇非偶
- 单调性：
$y' = \displaystyle{}\frac{3(x+1)^2 - 3x\cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{3(x+1)-6x}{(x+1)^3} = \frac{3-3x}{(x+1)^3}$
当 $x<-1$ 或 $x>1$ 时 $y'<0$（递减）；当 $-10$（递增）
- 极值：$x=1$ 处极大值 $y=\displaystyle{}\frac{3}{4}-2=-\frac54$
- 渐近线：$x=-1$ 垂直渐近线；当 $x\to\pm\infty$，$y\to -2$（水平渐近线 $y=-2$）
- 图形特征：在 $x=-1$ 处断开，左侧下降趋近 $-2$，右侧先升后降趋近 $-2$。

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以上为各函数的完整作图分析。如需实际图形，可借助数学软件（如 Desmos、GeoGebra）绘制验证。