人邮高数 第2章 第2-7-14题

教材习题

📝 题目

14．求圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 上任一点处的弧微分．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

解：
圆方程为 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$，求弧微分 $ds$。

首先，对方程两边关于 $x$ 求导（隐函数求导法）：
$$
2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0
$$
解得
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
$$

弧微分公式为
$$
ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx.
$$
代入导数：
$$
ds = \sqrt{1 + \left( -\frac{x}{y} \right)^2} \, dx
= \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}} \, dx
= \sqrt{\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}} \, dx.
$$

由于 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$，所以
$$
ds = \sqrt{\frac{R^{2}}{y^{2}}} \, dx = \frac{R}{|y|} \, dx.
$$

若采用参数形式，令 $x = R\cos\theta,\; y = R\sin\theta$，则
$$
dx = -R\sin\theta\, d\theta,\quad dy = R\cos\theta\, d\theta,
$$
弧微分也可表示为
$$
ds = \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}} = \sqrt{R^{2}\sin^{2}\theta + R^{2}\cos^{2}\theta}\; d\theta = R\, d\theta.
$$

因此，圆上任一点处的弧微分为
$$
\boxed{ds = \frac{R}{|y|}\,dx \quad \text{或} \quad ds = R\,d\theta}.
$$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：写出圆方程并明确求弧微分
圆方程为 $x^2 + y^2 = R^2$，需要求弧微分 $ds$。
步骤 2/5
目标：隐函数求导得到 dy/dx
对方程两边关于 $x$ 求导：$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$，解得 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。
公式：$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
提示：注意 $y$ 是 $x$ 的函数，求导时需使用隐函数求导法则。
步骤 3/5
目标：代入弧微分公式
弧微分公式 $ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx$，代入导数得 $ds = \sqrt{1 + \left( -\frac{x}{y} \right)^2} \, dx = \sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}} \, dx = \sqrt{\frac{y^2 + x^2}{y^2}} \, dx$。
公式：$ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx$
提示：化简时注意将根号内通分。
步骤 4/5
目标：利用圆方程化简
由 $x^2 + y^2 = R^2$，得 $ds = \sqrt{\frac{R^2}{y^2}} \, dx = \frac{R}{|y|} \, dx$。
公式：$ds = \frac{R}{|y|} \, dx$
提示：注意 $y$ 可正可负，因此取绝对值。
步骤 5/5
目标：参数形式表示弧微分
令 $x = R\cos\theta,\; y = R\sin\theta$，则 $dx = -R\sin\theta\, d\theta,\; dy = R\cos\theta\, d\theta$，弧微分 $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{R^2\sin^2\theta + R^2\cos^2\theta}\, d\theta = R\, d\theta$。
公式：$ds = R\, d\theta$
提示：参数形式更简洁，且避免了绝对值。

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