人邮高数 第2章 第2-7-21题
📝 题目
21．求椭圆 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知椭圆方程：
$$
4x^{2} + y^{2} = 4
$$
首先将方程写成显式形式，在点 $(0,2)$ 附近，$y>0$，所以
$$
y = \sqrt{4 - 4x^{2}} = 2\sqrt{1 - x^{2}}
$$
曲率公式为
$$
K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^{2}\right)^{3/2}}
$$
第一步：求一阶导数
$$
y' = 2 \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^{2}}}
$$
在 $x=0$ 处：
$$
y'(0) = 0
$$
第二步：求二阶导数
$$
y'' = -\frac{2\sqrt{1 - x^{2}} - 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1 - x^{2}}
$$
化简得
$$
y'' = -\frac{2\sqrt{1 - x^{2}} + \frac{2x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1 - x^{2}}
= -\frac{ \frac{2(1 - x^{2}) + 2x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} }{1 - x^{2}}
= -\frac{ \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}} }{1 - x^{2}}
= -\frac{2}{(1 - x^{2})^{3/2}}
$$
在 $x=0$ 处：
$$
y''(0) = -2
$$
第三步：代入曲率公式
$$
K = \frac{| -2 |}{\left(1 + 0^{2}\right)^{3/2}} = 2
$$
因此，椭圆在点 $(0,2)$ 处的曲率为
$$
\boxed{2}
$$
难度：★★☆☆☆