人邮高数 第2章 第2-7-22题
📝 题目
22．对数曲线 $y=\ln x$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求曲线 $y = \ln x$ 上曲率半径最小的点，并求该点处的曲率半径。
第一步：曲率公式
对于函数 $y = f(x)$，曲率 $K$ 为：
$$
K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}
$$
曲率半径 $R = \frac{1}{K}$。
第二步：求导数
已知 $y = \ln x$，定义域 $x > 0$。
一阶导数：
$$
y' = \frac{1}{x}
$$
二阶导数：
$$
y'' = -\frac{1}{x^2}
$$
第三步：曲率与曲率半径表达式
代入公式：
$$
K = \frac{|-\frac{1}{x^2}|}{\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{3/2}}
= \frac{\frac{1}{x^2}}{\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)^{3/2}}
= \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{(x^2+1)^{3/2}}{x^3}}
= \frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}
$$
因此曲率半径：
$$
R(x) = \frac{1}{K} = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}
$$
**第四步：求 $R(x)$ 的最小值**
因为 $x > 0$，我们直接求 $R(x)$ 的最小值。
对 $R(x)$ 求导：
$$
R'(x) = \frac{ \frac{3}{2}(x^2+1)^{1/2} \cdot 2x \cdot x - (x^2+1)^{3/2} \cdot 1 }{x^2}
$$
化简分子：
$$
= \frac{ 3x^2 (x^2+1)^{1/2} - (x^2+1)^{3/2} }{x^2}
= \frac{ (x^2+1)^{1/2} \left[ 3x^2 - (x^2+1) \right] }{x^2}
= \frac{ (x^2+1)^{1/2} (2x^2 - 1) }{x^2}
$$
令 $R'(x) = 0$，得：
$$
2x^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac12 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad (\text{取正值})
$$
第五步：判断最小值
当 $0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$2x^2 - 1 < 0$，$R'(x) < 0$，函数递减；
当 $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$R'(x) > 0$，函数递增。
因此 $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 处取得最小值。
第六步：求对应点与曲率半径
该点坐标为：
$$
x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad y_0 = \ln\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac12 \ln 2
$$
曲率半径：
$$
R_{\min} = \frac{ \left( \frac12 + 1 \right)^{3/2} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }
= \frac{ \left( \frac{3}{2} \right)^{3/2} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }
= \sqrt{2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{3/2}
= \sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}
= \frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
最终答案
曲线上点 $\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}},\; -\dfrac12\ln 2 \right)$ 处曲率半径最小，最小曲率半径为 $\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
难度：★★☆☆☆