人邮高数 第2章 第2-7-24题

[AI解答]

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第一步：由相切条件确定参数

抛物线 $ y = a x^2 + b x + c $ 与曲线 $ y = e^x $ 在 $ x = 0 $ 处相切，意味着两曲线在 $ x = 0 $ 处有相同的函数值和相同的一阶导数。

1. 函数值相等：
$$
a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = e^0 = 1
$$
所以
$$
c = 1.
$$

2. 一阶导数相等：
抛物线导数为 $ y' = 2a x + b $，在 $ x = 0 $ 处为 $ b $；
$ e^x $ 的导数为 $ e^x $，在 $ x = 0 $ 处为 $ 1 $。
因此
$$
b = 1.
$$

**第二步：由曲率半径相等确定 $ a $**

曲率半径公式为：
$$
R = \frac{(1 + (y')^2)^{3/2}}{|y''|}.
$$

在 $ x = 0 $ 处，两曲线已有相同的 $ y' = 1 $，所以只需保证二阶导数的绝对值相等（因为曲率半径相等且分母取绝对值）。

- 抛物线：$ y'' = 2a $。
- $ e^x $：$ y'' = e^x $，在 $ x = 0 $ 处为 $ 1 $。

因此有：
$$
|2a| = 1 \quad\Rightarrow\quad a = \pm \frac{1}{2}.
$$

第三步：确定符号

曲率半径相等时，曲率中心可以在曲线两侧，但通常题目要求“相同的曲率半径”即数值相等，因此两个解在数学上都成立。若进一步要求弯曲方向相同（即同为凹或凸），则需考察二阶导数符号：$ e^x $ 在 $ x=0 $ 处 $ y'' = 1 > 0 $（凹向上），所以取 $ a = \frac{1}{2} $ 使抛物线也凹向上。但题目未明确要求方向一致，故两个解均可。

因此系数为：
$$
a = \frac{1}{2} \quad\text{或}\quad a = -\frac{1}{2},\qquad b = 1,\qquad c = 1.
$$

最终答案：
$$
\boxed{a = \frac{1}{2},\ b = 1,\ c = 1} \quad\text{或}\quad \boxed{a = -\frac{1}{2},\ b = 1,\ c = 1}
$$

难度：★★☆☆☆