人邮高数 第3章 第3-2-1题
📝 题目
1．在下列各式等号的右端加上适当的系数，使等式成立．
（1） $\mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}(2 x) ;$
（2） $\mathrm{d} x=\ldots \mathrm{d}(5 x-2)$ ；
（3）$x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(x^{3}\right)$ ；
（4）$x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(3 x^{2}\right)$ ；
（5）$x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(3-2 x^{2}\right)$ ；
（6）$x^{3} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ d $\left(5 x^{4}-2\right)$ ；
（7） $\mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right) ;$
（8） $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{x}{3}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\displaystyle \mathrm{d}\left(1+\mathrm{e}^{-\frac{x}{3}}\right) ;$
（9） $\displaystyle \sin \frac{3}{4} x \mathrm{~d} x=$ d $\displaystyle \left(\cos \frac{3}{4} x\right)$ ；
（11）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{x}=\ldots \mathrm{d}(3-5 \ln |x|)$ ；
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们利用微分形式的不变性：若 $ y = f(u) $，则 $ dy = f'(u) du $。因此，对于题目中形如 $ du = k \cdot dv $ 的形式，系数即为导数之比的倒数。
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(1) $ dx = \_\_\_\_ \, d(2x) $
因为 $ d(2x) = 2 dx $，所以 $ dx = \frac{1}{2} d(2x) $。
答案：$\displaystyle \frac{1}{2}$
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(2) $ dx = \_\_\_\_ \, d(5x - 2) $
因为 $ d(5x-2) = 5 dx $，所以 $ dx = \frac{1}{5} d(5x-2) $。
答案：$\displaystyle \frac{1}{5}$
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(3) $ x dx = \_\_\_\_ \, d(x^3) $
因为 $ d(x^3) = 3x^2 dx $，所以
$$
x dx = \frac{1}{3x} \cdot 3x^2 dx = \frac{1}{3x} d(x^3)
$$
但注意系数应为常数，这里需要将 $ x dx $ 表达成 $ d(x^3) $ 的常数倍：
由 $ d(x^3) = 3x^2 dx $，得 $ x dx = \frac{1}{3x} d(x^3) $，这不是常数倍，说明我们应反过来：
实际上 $ x dx = \frac{1}{3} d(x^3) $ 是错误的，因为 $ \frac{1}{3} d(x^3) = x^2 dx $。
正确做法：
设 $ x dx = k \cdot d(x^3) = k \cdot 3x^2 dx $，则 $ 1 = 3k x $，这不可能为常数。
所以此题可能意图是 $ x dx = \frac{1}{3} d(x^3) $？但检查：
$ \frac{1}{3} d(x^3) = x^2 dx $，不等于 $ x dx $。
因此正确系数应为 $\frac{1}{3x}$，但通常这种题要求常数系数，可能题目有误或需理解为：
$ x dx = \frac{1}{3} d(x^3) $ 是不对的，正确应为 $ x^2 dx = \frac{1}{3} d(x^3) $。
若坚持原题，则答案应为 $\frac{1}{3x}$，但非常数。
我们按标准微分形式填空：
由 $ d(x^3) = 3x^2 dx $，得 $ x dx = \frac{1}{3x} d(x^3) $。
答案：$\displaystyle \frac{1}{3x}$
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(4) $ x dx = \_\_\_\_ \, d(3x^2) $
$ d(3x^2) = 6x dx $，所以 $ x dx = \frac{1}{6} d(3x^2) $。
答案：$\displaystyle \frac{1}{6}$
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(5) $ x dx = \_\_\_\_ \, d(3 - 2x^2) $
$ d(3 - 2x^2) = -4x dx $，所以 $ x dx = -\frac{1}{4} d(3 - 2x^2) $。
答案：$\displaystyle -\frac{1}{4}$
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(6) $ x^3 dx = \_\_\_\_ \, d(5x^4 - 2) $
$ d(5x^4 - 2) = 20x^3 dx $，所以 $ x^3 dx = \frac{1}{20} d(5x^4 - 2) $。
答案：$\displaystyle \frac{1}{20}$
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(7) $ e^{2x} dx = \_\_\_\_ \, d(e^{2x}) $
$ d(e^{2x}) = 2e^{2x} dx $，所以 $ e^{2x} dx = \frac{1}{2} d(e^{2x}) $。
答案：$\displaystyle \frac{1}{2}$
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(8) $ e^{-\frac{x}{3}} dx = \_\_\_\_ \, d(1 + e^{-\frac{x}{3}}) $
$ d(1 + e^{-\frac{x}{3}}) = -\frac{1}{3} e^{-\frac{x}{3}} dx $，所以
$ e^{-\frac{x}{3}} dx = -3 \, d(1 + e^{-\frac{x}{3}}) $。
答案：$\displaystyle -3$
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(9) $ \sin\frac{3}{4}x \, dx = \_\_\_\_ \, d\left(\cos\frac{3}{4}x\right) $
$ d\left(\cos\frac{3}{4}x\right) = -\frac{3}{4} \sin\frac{3}{4}x \, dx $，所以
$ \sin\frac{3}{4}x \, dx = -\frac{4}{3} \, d\left(\cos\frac{3}{4}x\right) $。
答案：$\displaystyle -\frac{4}{3}$
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(11) $ \frac{dx}{x} = \_\_\_\_ \, d(3 - 5\ln|x|) $
$ d(3 - 5\ln|x|) = -\frac{5}{x} dx $，所以
$ \frac{dx}{x} = -\frac{1}{5} d(3 - 5\ln|x|) $。
答案：$\displaystyle -\frac{1}{5}$
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难度评级：★☆☆☆☆（属于基础微分形式配系数，只需掌握微分法则即可）