人邮高数 第3章 第3-2-5题

[AI解答]

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已知 $ f(x) $ 的一个原函数是 $ e^{-x^2} $，即
$$
\int f(x) \, dx = e^{-x^2} + C,
$$
所以
$$
f(x) = \frac{d}{dx}\left( e^{-x^2} \right) = -2x e^{-x^2}.
$$

我们需要计算
$$
\int x f'(x) \, dx.
$$

先求 $ f'(x) $：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}\left( -2x e^{-x^2} \right)
= -2 e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2})
= -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2}.
$$

于是
$$
x f'(x) = x\left( -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} \right)
= -2x e^{-x^2} + 4x^3 e^{-x^2}.
$$

因此
$$
\int x f'(x) \, dx = \int \left( -2x e^{-x^2} + 4x^3 e^{-x^2} \right) dx.
$$

分别积分：
第一项：
$$
\int -2x e^{-x^2} dx = e^{-x^2} + C_1,
$$
因为 $ \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = -2x e^{-x^2} $。

第二项：
令 $ u = x^2 $，则 $ du = 2x dx $，于是
$$
\int 4x^3 e^{-x^2} dx = \int 2x^2 \cdot 2x e^{-x^2} dx
= \int 2u e^{-u} du.
$$
用分部积分：
$$
\int 2u e^{-u} du = -2u e^{-u} - 2 e^{-u} + C_2
= -2x^2 e^{-x^2} - 2 e^{-x^2} + C_2.
$$

合并两项：
$$
\int x f'(x) dx = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} - 2 e^{-x^2} + C
= -2x^2 e^{-x^2} - e^{-x^2} + C.
$$

因此结果为
$$
\boxed{-e^{-x^2}(2x^2 + 1) + C}.
$$

难度：★★☆☆☆