人邮高数 第3章 第3-4-6题
📝 题目
6．估计下列定积分值的范围：
（1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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习题3-4 第6题：估计下列定积分值的范围
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（1）$\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$
步骤1：确定被积函数的单调性与最值
在区间 $[0,1]$ 上，函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 是连续且单调递减的，因为导数
$$
f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2} \le 0
$$
因此最大值在 $x=0$ 处取得，最小值在 $x=1$ 处取得。
步骤2：计算最值
最大值：$f(0)=1$
最小值：$\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}$
步骤3：利用定积分估值定理
由估值定理：
若 $m \le f(x) \le M$ 在 $[a,b]$ 上成立，则
$$
m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a)
$$
这里 $a=0,b=1$，$\displaystyle m=\frac12$，$M=1$，于是
$$
\frac12 \cdot 1 \le \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \le 1 \cdot 1
$$
即
$$
\frac12 \le \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \le 1
$$
**（实际上该积分精确值为 $\displaystyle \frac{\pi}{4}\approx 0.785$，落在区间内。）**
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（2）$\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$
步骤1：确定被积函数的范围
在 $\displaystyle [0,\frac{\pi}{2}]$ 上，$\cos x$ 从 $1$ 递减到 $0$，因此 $\cos^4 x$ 从 $1$ 递减到 $0$。
于是
$$
1+0 \le 1+\cos^4 x \le 1+1
$$
即
$$
1 \le 1+\cos^4 x \le 2
$$
步骤2：应用估值定理
区间长度 $\displaystyle b-a = \frac{\pi}{2}$，因此
$$
1 \cdot \frac{\pi}{2} \le \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos^4 x)\,dx \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}
$$
即
$$
\frac{\pi}{2} \le \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos^4 x)\,dx \le \pi
$$
**（精确值可通过公式计算得 $\displaystyle \frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{8}\approx 2.748$，落在该区间内。）**
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最终答案：
（1）$\displaystyle \frac12 \le \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \le 1$
（2）$\displaystyle \frac{\pi}{2} \le \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos^4 x)\,dx \le \pi$
难度：★☆☆☆☆