人邮高数 第3章 第3-5-1题

[AI解答]

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首先，我们分析这两个表达式。
第一个积分：
$$
\displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t
$$
积分变量是 $t$，积分上限是 $x$，下限是常数 $a$。因此，当 $x$ 变化时，积分结果随之变化，所以它是 $x$ 的函数，而不是 $t$ 的函数（$t$ 是积分过程中被积掉的哑变量）。

第二个积分：
$$
\displaystyle{\int}_{x}^{b} f(u) \mathrm{d} u
$$
积分变量是 $u$，下限是 $x$，上限是常数 $b$。同样，它是 $x$ 的函数，而不是 $u$ 的函数。

因此，两者都是 $x$ 的函数。

---

接下来讨论导数是否存在。
已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，根据微积分基本定理：

对于第一个积分，设
$$
F(x) = \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t
$$
则
$$
F'(x) = f(x)
$$
导数存在且等于 $f(x)$。

对于第二个积分，可以改写为
$$
G(x) = \displaystyle{\int}_{x}^{b} f(u) \mathrm{d} u = -\displaystyle{\int}_{b}^{x} f(u) \mathrm{d} u
$$
因此
$$
G'(x) = -f(x)
$$
导数存在且等于 $-f(x)$。

---

结论：
- 两者都是 $x$ 的函数。
- 导数都存在。
- $\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{x} f(t) dt \right) = f(x)$
- $\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \int_{x}^{b} f(u) du \right) = -f(x)$

难度：★☆☆☆☆