人邮高数 第3章 第3-6-8题

[AI解答]

[AI解答]

首先，我们计算积分表达式。
被积函数为 $ t(1+2\ln t) $，其原函数可以通过分部积分或直接观察得到。
注意到：
$$
\frac{d}{dt} \left( t^2 \ln t \right) = 2t \ln t + t
$$
而我们需要的是 $ t + 2t\ln t $，正好就是上式。因此：
$$
\int t(1+2\ln t) \, dt = t^2 \ln t + C
$$
于是：
$$
I(x) = \int_{1}^{x} t(1+2\ln t) \, dt = \left[ t^2 \ln t \right]_{1}^{x}
$$
在 $ t=1 $ 时，$ 1^2 \ln 1 = 0 $，所以：
$$
I(x) = x^2 \ln x
$$
定义域为 $[1, e]$。

接下来求最值。先求导数：
$$
I'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 \ln x) = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1)
$$
令 $ I'(x) = 0 $，在区间内：
$$
x(2\ln x + 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\ln x + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \ln x = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x = e^{-1/2}
$$
但 $ e^{-1/2} \approx 0.6065 < 1 $，不在区间 $[1, e]$ 内。因此在区间内部没有驻点。

所以最值只可能在端点取得：
$$
I(1) = 1^2 \ln 1 = 0
$$
$$
I(e) = e^2 \ln e = e^2 \cdot 1 = e^2
$$
由于 $ I(x) = x^2 \ln x $ 在 $[1, e]$ 上导数 $ I'(x) = x(2\ln x + 1) \ge 1 \cdot (0+1) > 0 $（因为 $\ln x \ge 0$），函数单调递增。

因此：
- 最小值：$ I(1) = 0 $
- 最大值：$ I(e) = e^2 $

最终答案为：
$$
\boxed{\text{最小值 }0,\ \text{最大值 }e^2}
$$

难度：★☆☆☆☆