人邮高数 第3章 第3-8-2题

[AI解答]

[AI解答]

我们逐一讨论每个广义积分的敛散性，若收敛则计算其值。

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（1）
$$
I_1 = \displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x
$$
在 $x=1$ 处 $\ln x \to 0$，被积函数趋于无穷，是瑕积分。
令 $t = \ln x$，则 $\mathrm{d}x = x \mathrm{d}t$，积分变为
$$
I_1 = \displaystyle{\int}_{0}^{\ln 2} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t
$$
该积分在 $t=0$ 发散（因为 $\int_0^\varepsilon \frac{1}{t} dt$ 发散）。
结论：发散。

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（2）
$$
I_2 = \displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{1}{(1-x)^{3}} \mathrm{~d} x
$$
瑕点 $x=1$。拆为
$$
I_2 = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^3} \mathrm{~d}x + \displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{1}{(1-x)^3} \mathrm{~d}x
$$
先看第一段：令 $u=1-x$，则
$$
\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^3} \mathrm{~d}x = \displaystyle{\int}_{0}^{1} u^{-3} \mathrm{~d}u
$$
该积分在 $u=0$ 处发散（指数 $-3<-1$）。
因此整体发散。
结论：发散。

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（3）
$$
I_3 = \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x
$$
瑕点 $x=\pm 1$。由对称性，
$$
I_3 = 2 \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x
$$
令 $x = \sin t$，则 $\mathrm{d}x = \cos t \mathrm{~d}t$，
$$
\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d}x = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\cos t} \mathrm{~d}t = \frac{\pi}{2}
$$
所以
$$
I_3 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi
$$
结论：收敛，值为 $\pi$。

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（4）
$$
I_4 = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{(2-x) \sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x
$$
瑕点 $x=1$。令 $t = \sqrt{1-x}$，则 $x = 1 - t^2$，$\mathrm{d}x = -2t \mathrm{~d}t$，
当 $x:0\to 1$，$t:1\to 0$，
$$
I_4 = \displaystyle{\int}_{1}^{0} \frac{1}{(2-(1-t^2))\, t} (-2t) \mathrm{~d}t = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{2}{1+t^2} \mathrm{~d}t
$$
$$
= 2 \arctan t \Big|_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}
$$
结论：收敛，值为 $\frac{\pi}{2}$。

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（5）
$$
I_5 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x
$$
瑕点 $x=0$。当 $x\to 0^+$，$\sin x \sim x$，
$$
\frac{1}{\sin x} \sim \frac{1}{x}
$$
而 $\int_0^\varepsilon \frac{1}{x} dx$ 发散。
结论：发散。

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（6）
$$
I_6 = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{3} \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x
$$
瑕点 $x=1$。令 $x = \sin t$，则 $\mathrm{d}x = \cos t \mathrm{~d}t$，
当 $x:0\to 1$，$t:0\to \frac{\pi}{2}$，
$$
I_6 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 t \cdot t}{\cos t} \cos t \mathrm{~d}t = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin^3 t \mathrm{~d}t
$$
用 $\sin^3 t = \frac{3\sin t - \sin 3t}{4}$，
$$
I_6 = \frac{1}{4} \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} (3t\sin t - t\sin 3t) \mathrm{~d}t
$$
分部积分：
$\int t \sin at \mathrm{~d}t = -\frac{t\cos at}{a} + \frac{\sin at}{a^2}$
在 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 计算：
对于 $a=1$：
$$
\left[-\frac{t\cos t}{1} + \frac{\sin t}{1}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(0 + 1\right) - (0+0) = 1
$$
对于 $a=3$：
$$
\left[-\frac{t\cos 3t}{3} + \frac{\sin 3t}{9}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
$$
在 $t=\frac{\pi}{2}$：$\cos\frac{3\pi}{2}=0$，$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$，得 $0 + \frac{-1}{9} = -\frac{1}{9}$
在 $t=0$：值为 $0$，所以结果为 $-\frac{1}{9}$。
因此
$$
I_6 = \frac{1}{4}\left(3\cdot 1 - (-\frac{1}{9})\right) = \frac{1}{4}\left(3 + \frac{1}{9}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{28}{9} = \frac{7}{9}
$$
结论：收敛，值为 $\frac{7}{9}$。

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（7）
$$
I_7 = \displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x
$$
瑕点 $x=0$ 和无穷远。
在 $x\to 0^+$，$\arctan x \sim x$，被积函数 $\sim \frac{1}{x}$，发散。
结论：发散。

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（8）
$$
I_8 = \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \mathrm{~d} x
$$
瑕点 $x=-1$。令 $x = \cos 2t$，则当 $x:-1\to 1$，$t:\frac{\pi}{2}\to 0$，
$$
\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 t}{2\cos^2 t}} = \tan t
$$
且 $\mathrm{d}x = -2\sin 2t \mathrm{~d}t = -4\sin t \cos t \mathrm{~d}t$，
$$
I_8 = \displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{2}}^{0} \tan t \cdot (-4\sin t\cos t) \mathrm{~d}t = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\sin^2 t \mathrm{~d}t
$$
$$
= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \pi
$$
结论：收敛，值为 $\pi$。

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最终答案汇总：
（1）发散
（2）发散
（3）收敛，$\pi$
（4）收敛，$\frac{\pi}{2}$
（5）发散
（6）收敛，$\frac{7}{9}$
（7）发散
（8）收敛，$\pi$

难度评级：★★★☆☆