人邮高数 第1章 第1-3-3题

[AI解答]

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我们要求极限
$$
\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{3x^2 + 4x + 1} - a x - b \right) = 0
$$
中的常数 $a$ 与 $b$。

第一步：分析无穷大行为

当 $x \to +\infty$ 时，$\sqrt{3x^2 + 4x + 1}$ 的主要项是 $\sqrt{3}\,x$。为了使极限为有限值，必须消去 $x$ 的一次项，因此取
$$
a = \sqrt{3}.
$$

**第二步：确定 $b$**

将 $a = \sqrt{3}$ 代入，考虑极限
$$
\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{3x^2 + 4x + 1} - \sqrt{3}\,x - b \right).
$$
先处理根号部分减去 $\sqrt{3}x$ 的差，采用有理化方法：
$$
\sqrt{3x^2 + 4x + 1} - \sqrt{3}\,x
= \frac{(3x^2 + 4x + 1) - 3x^2}{\sqrt{3x^2 + 4x + 1} + \sqrt{3}\,x}
= \frac{4x + 1}{\sqrt{3x^2 + 4x + 1} + \sqrt{3}\,x}.
$$

**第三步：求该差当 $x \to +\infty$ 时的极限**

分母中，当 $x$ 很大时，
$$
\sqrt{3x^2 + 4x + 1} \sim \sqrt{3}\,x \sqrt{1 + \frac{4}{3x} + \frac{1}{3x^2}} \sim \sqrt{3}\,x \left(1 + \frac{2}{3x} + \cdots\right),
$$
但更直接的做法是提取 $x$：
$$
\sqrt{3x^2 + 4x + 1} = x\sqrt{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}, \quad \sqrt{3}\,x = x\sqrt{3}.
$$
于是
$$
\frac{4x + 1}{\sqrt{3x^2 + 4x + 1} + \sqrt{3}\,x}
= \frac{x\left(4 + \frac{1}{x}\right)}{x\left( \sqrt{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3} \right)}
= \frac{4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3}}.
$$
当 $x \to +\infty$ 时，分子趋于 $4$，分母趋于 $\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，因此
$$
\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{3x^2 + 4x + 1} - \sqrt{3}\,x \right) = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}.
$$

**第四步：确定 $b$**

原极限为
$$
\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{3x^2 + 4x + 1} - \sqrt{3}\,x - b \right)
= \frac{2}{\sqrt{3}} - b.
$$
令其等于 $0$，得
$$
b = \frac{2}{\sqrt{3}}.
$$

最终答案：
$$
\boxed{a = \sqrt{3},\quad b = \frac{2}{\sqrt{3}}}
$$