人邮高数 第3章 第3-8-3题
📝 题目
3．设反常积分 $I=\displaystyle{\int}_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{k}}$ ，问：$k$ 为何值时，（1）$I$ 发散，（2）$I$ 收敛，（3）$I$ 取得最小值？
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 不定积分 & \begin{tabular}{l}
理解原函数和不定积分的概念、性质，积分与微分的关系 \\
会求不定积分（基本公式、线性运算、凑微分法、换元技巧、分部积分）
\end{tabular} \\
\hline 定积分 & \begin{tabular}{l}
理解 定积分的概念与性质 \\
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 \\
会求定积分、广义积分
\end{tabular} \\
\hline 定积分应用 & \begin{tabular}{l}
□定积分求几何问题（面积、体积、弧长）<img src="https://cdn.mathpix.com/cropped/47bc7961-a74f-420f-9eb2-297b2b074422-225.jpg?height=41\&width=61\&top_left_y=950\&top_left_x=505" style="max-width:100%;height:auto;"> \\
定积分求物理问题（变力做功、侧压力）
\end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们考虑反常积分
$$
I = \displaystyle{\int}_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x (\ln x)^{k}}.
$$
第一步：判断敛散性
令 $ t = \ln x $，则当 $ x = 2 $ 时 $ t = \ln 2 $；当 $ x \to +\infty $ 时 $ t \to +\infty $，且
$$
\mathrm{d}x = x \, \mathrm{d}t \quad \Rightarrow \quad \frac{\mathrm{d}x}{x} = \mathrm{d}t.
$$
于是积分化为
$$
I = \displaystyle{\int}_{\ln 2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{k}}.
$$
这是一个 $ p $-积分（形如 $\displaystyle{\int}_{a}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{p}}$ 的敛散性判别）：
- 当 $ k > 1 $ 时，积分收敛；
- 当 $ k \le 1 $ 时，积分发散。
因此：
- (1) 当 $ k \le 1 $ 时，$ I $ 发散；
- (2) 当 $ k > 1 $ 时，$ I $ 收敛。
**第二步：求 $ I $ 的表达式（当 $ k > 1 $ 时）**
当 $ k > 1 $ 时，
$$
I = \displaystyle{\int}_{\ln 2}^{+\infty} t^{-k} \, \mathrm{d}t
= \left[ \frac{t^{-k+1}}{-k+1} \right]_{\ln 2}^{+\infty}.
$$
由于 $ -k+1 < 0 $，当 $ t \to +\infty $ 时 $ t^{-k+1} \to 0 $，所以
$$
I = \frac{(\ln 2)^{-k+1}}{k-1}.
$$
**第三步：求 $ I $ 的最小值（当 $ k > 1 $ 时）**
考虑函数
$$
f(k) = \frac{(\ln 2)^{1-k}}{k-1}, \quad k > 1.
$$
取对数：
$$
\ln f(k) = (1-k) \ln(\ln 2) - \ln(k-1).
$$
对 $ k $ 求导：
$$
\frac{f'(k)}{f(k)} = -\ln(\ln 2) - \frac{1}{k-1}.
$$
令导数为零：
$$
-\ln(\ln 2) - \frac{1}{k-1} = 0
\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{k-1} = -\ln(\ln 2).
$$
由于 $\ln 2 \approx 0.693$，$\ln(\ln 2) \approx \ln(0.693) < 0$，所以 $-\ln(\ln 2) > 0$，解得
$$
k - 1 = \frac{1}{-\ln(\ln 2)} \quad\Rightarrow\quad k = 1 - \frac{1}{\ln(\ln 2)}.
$$
数值上，$\ln(\ln 2) \approx -0.3665$，所以
$$
k \approx 1 + \frac{1}{0.3665} \approx 3.728.
$$
且当 $ k $ 略小于此值时导数负，略大于时导数正，故该点为极小值点，即 $ I $ 在此处取得最小值。
最终答案：
(1) $ I $ 发散当 $ k \le 1 $；
(2) $ I $ 收敛当 $ k > 1 $；
(3) $ I $ 取得最小值当 $ k = 1 - \dfrac{1}{\ln(\ln 2)} $。
难度：★★☆☆☆