人邮高数 第4章 第4-1-5题
📝 题目
5．试求下列微分方程在指定形式下的解．
（1）$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0$ ，形如 $y=\mathrm{e}^{r x}$ 的解；
（2）$x^{2} y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}+4 y=0$ ，形如 $y=x^{\lambda}$ 的解。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
(1) 给定微分方程
$$
y'' + 3y' + 2y = 0
$$
设解形如 $y = e^{rx}$，则
$$
y' = r e^{rx},\quad y'' = r^2 e^{rx}
$$
代入原方程得
$$
r^2 e^{rx} + 3r e^{rx} + 2 e^{rx} = 0
$$
提取公因子 $e^{rx} \neq 0$，得到特征方程
$$
r^2 + 3r + 2 = 0
$$
因式分解：
$$
(r+1)(r+2) = 0
$$
解得
$$
r_1 = -1,\quad r_2 = -2
$$
因此形如 $y = e^{rx}$ 的解为
$$
y_1 = e^{-x},\quad y_2 = e^{-2x}
$$
(2) 给定微分方程
$$
x^2 y'' + 6x y' + 4y = 0
$$
设解形如 $y = x^\lambda$，则
$$
y' = \lambda x^{\lambda-1},\quad y'' = \lambda(\lambda-1) x^{\lambda-2}
$$
代入原方程：
$$
x^2 \cdot \lambda(\lambda-1) x^{\lambda-2} + 6x \cdot \lambda x^{\lambda-1} + 4 x^\lambda = 0
$$
化简：
$$
\lambda(\lambda-1) x^\lambda + 6\lambda x^\lambda + 4 x^\lambda = 0
$$
提取 $x^\lambda \neq 0$，得
$$
\lambda(\lambda-1) + 6\lambda + 4 = 0
$$
即
$$
\lambda^2 - \lambda + 6\lambda + 4 = \lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0
$$
因式分解：
$$
(\lambda+1)(\lambda+4) = 0
$$
解得
$$
\lambda_1 = -1,\quad \lambda_2 = -4
$$
因此形如 $y = x^\lambda$ 的解为
$$
y_1 = x^{-1},\quad y_2 = x^{-4}
$$
难度：★☆☆☆☆