人邮高数 第4章 第4-2-1题

[AI解答]

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以下为各小题的详细求解过程：

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（1）
方程：
$$
x \mathrm{~d} y - y \mathrm{~d} x = 0
$$
移项得：
$$
x \mathrm{~d} y = y \mathrm{~d} x
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{y} = \frac{\mathrm{d} x}{x}
$$
两边积分：
$$
\int \frac{\mathrm{d} y}{y} = \int \frac{\mathrm{d} x}{x}
$$
得：
$$
\ln |y| = \ln |x| + C
$$
即：
$$
y = C x
$$
通解为：
$$
\boxed{y = Cx}
$$

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（2）
方程：
$$
x y' + y = 0
$$
即：
$$
x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + y = 0
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{y} = -\frac{\mathrm{d} x}{x}
$$
积分：
$$
\int \frac{\mathrm{d} y}{y} = -\int \frac{\mathrm{d} x}{x}
$$
得：
$$
\ln |y| = -\ln |x| + C
$$
即：
$$
y = \frac{C}{x}
$$
通解为：
$$
\boxed{y = \frac{C}{x}}
$$

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（3）
方程：
$$
x \mathrm{~d} y + \mathrm{d} x = \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x
$$
移项：
$$
x \mathrm{~d} y = (\mathrm{e}^{y} - 1) \mathrm{d} x
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{e}^{y} - 1} = \frac{\mathrm{d} x}{x}
$$
左边变形：
$$
\frac{1}{\mathrm{e}^{y} - 1} = \frac{\mathrm{e}^{-y}}{1 - \mathrm{e}^{-y}}
$$
积分：
$$
\int \frac{\mathrm{e}^{-y}}{1 - \mathrm{e}^{-y}} \mathrm{d} y = \int \frac{\mathrm{d} x}{x}
$$
令 $u = 1 - \mathrm{e}^{-y}$，则 $\mathrm{d} u = \mathrm{e}^{-y} \mathrm{d} y$，左边为：
$$
\int \frac{\mathrm{d} u}{u} = \ln |u| = \ln |1 - \mathrm{e}^{-y}|
$$
右边：$\ln |x| + C$
所以：
$$
\ln |1 - \mathrm{e}^{-y}| = \ln |x| + C
$$
即：
$$
1 - \mathrm{e}^{-y} = C x
$$
从而：
$$
\mathrm{e}^{-y} = 1 - C x
$$
取对数：
$$
y = -\ln |1 - C x|
$$
通解为：
$$
\boxed{y = -\ln |1 - Cx|}
$$

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（4）
方程：
$$
\frac{x}{1+y} \mathrm{~d} y - \frac{y}{1+x} \mathrm{~d} x = 0
$$
移项：
$$
\frac{x}{1+y} \mathrm{~d} y = \frac{y}{1+x} \mathrm{~d} x
$$
分离变量：
$$
\frac{1+y}{y} \mathrm{~d} y = \frac{1+x}{x} \mathrm{~d} x
$$
即：
$$
\left( \frac{1}{y} + 1 \right) \mathrm{d} y = \left( \frac{1}{x} + 1 \right) \mathrm{d} x
$$
积分：
$$
\int \left( \frac{1}{y} + 1 \right) \mathrm{d} y = \int \left( \frac{1}{x} + 1 \right) \mathrm{d} x
$$
得：
$$
\ln |y| + y = \ln |x| + x + C
$$
通解为：
$$
\boxed{\ln |y| + y = \ln |x| + x + C}
$$

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（5）
方程：
$$
y' = \mathrm{e}^{x+y}
$$
即：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{y}
$$
分离变量：
$$
\mathrm{e}^{-y} \mathrm{d} y = \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x
$$
积分：
$$
\int \mathrm{e}^{-y} \mathrm{d} y = \int \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x
$$
得：
$$
-\mathrm{e}^{-y} = \mathrm{e}^{x} + C
$$
即：
$$
\mathrm{e}^{-y} = -\mathrm{e}^{x} - C
$$
取对数：
$$
y = -\ln (-\mathrm{e}^{x} - C)
$$
或写作：
$$
\mathrm{e}^{-y} + \mathrm{e}^{x} = C
$$
通解为：
$$
\boxed{\mathrm{e}^{-y} + \mathrm{e}^{x} = C}
$$

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（6）
方程：
$$
y \ln x \mathrm{~d} x + x \ln y \mathrm{~d} y = 0
$$
移项：
$$
y \ln x \mathrm{~d} x = -x \ln y \mathrm{~d} y
$$
分离变量：
$$
\frac{\ln x}{x} \mathrm{d} x = -\frac{\ln y}{y} \mathrm{d} y
$$
积分：
$$
\int \frac{\ln x}{x} \mathrm{d} x = -\int \frac{\ln y}{y} \mathrm{d} y
$$
令 $u = \ln x$，则 $\mathrm{d} u = \frac{1}{x} \mathrm{d} x$，左边为：
$$
\int u \mathrm{d} u = \frac{u^{2}}{2} = \frac{(\ln x)^{2}}{2}
$$
同理右边：
$$
-\frac{(\ln y)^{2}}{2}
$$
所以：
$$
\frac{(\ln x)^{2}}{2} = -\frac{(\ln y)^{2}}{2} + C
$$
即：
$$
(\ln x)^{2} + (\ln y)^{2} = C
$$
通解为：
$$
\boxed{(\ln x)^{2} + (\ln y)^{2} = C}
$$

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（7）
方程：
$$
\cos^{2} x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + y = 0
$$
即：
$$
\cos^{2} x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -y
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{y} = -\frac{\mathrm{d} x}{\cos^{2} x}
$$
积分：
$$
\int \frac{\mathrm{d} y}{y} = -\int \sec^{2} x \mathrm{d} x
$$
得：
$$
\ln |y| = -\tan x + C
$$
即：
$$
y = C \mathrm{e}^{-\tan x}
$$
通解为：
$$
\boxed{y = C \mathrm{e}^{-\tan x}}
$$

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（8）
方程：
$$
x (y^{2} - 1) \mathrm{d} x + y (x^{2} - 1) \mathrm{d} y = 0
$$
移项：
$$
x (y^{2} - 1) \mathrm{d} x = -y (x^{2} - 1) \mathrm{d} y
$$
分离变量：
$$
\frac{x}{x^{2} - 1} \mathrm{d} x = -\frac{y}{y^{2} - 1} \mathrm{d} y
$$
积分：
$$
\int \frac{x}{x^{2} - 1} \mathrm{d} x = -\int \frac{y}{y^{2} - 1} \mathrm{d} y
$$
左边：令 $u = x^{2} - 1$，$\mathrm{d} u = 2x \mathrm{d} x$，则
$$
\int \frac{x}{x^{2} - 1} \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \ln |x^{2} - 1|
$$
同理右边：
$$
-\frac{1}{2} \ln |y^{2} -