人邮高数 第4章 第4-2-4题

[AI解答]

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以下为各小题的求解过程，使用分离变量法或一阶线性微分方程解法，并代入初始条件确定特解。

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(1)
方程：$y' \sin x = y \ln y$，初始条件 $\displaystyle y(\frac{\pi}{2}) = e$

分离变量：
$$
\displaystyle{\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{\sin x}}
$$
积分：
$$
\displaystyle{\int \frac{dy}{y \ln y} = \int \csc x \, dx}
$$
左边：$\ln|\ln y|$，右边：$\ln|\csc x - \cot x| + C$
得：
$$
\ln|\ln y| = \ln|\csc x - \cot x| + C
$$
即：
$$
\ln y = C_1 (\csc x - \cot x)
$$
代入 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}, y=e$：
$\ln e = 1 = C_1(1-0) \Rightarrow C_1=1$
特解：
$$
\ln y = \csc x - \cot x
$$
或
$$
y = e^{\csc x - \cot x}
$$

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(2)
方程：$\sqrt{1-x^2} y' = x$，$y(0)=0$

分离变量：
$$
dy = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx
$$
积分：
$$
y = -\sqrt{1-x^2} + C
$$
代入 $x=0, y=0$：$0 = -1 + C \Rightarrow C=1$
特解：
$$
y = 1 - \sqrt{1-x^2}
$$

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(3)
方程：$(y+3)dx + \cot x \, dy = 0$，$y(0)=1$

改写：
$$
\cot x \, dy = -(y+3) dx \Rightarrow \frac{dy}{y+3} = -\tan x \, dx
$$
积分：
$$
\ln|y+3| = \ln|\cos x| + C
$$
即：
$$
y+3 = C_1 \cos x
$$
代入 $x=0, y=1$：$4 = C_1$
特解：
$$
y = 4\cos x - 3
$$

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(4)
方程：$\cos y \, dx + (1+e^{-x})\sin y \, dy = 0$，$\displaystyle y(0)=\frac{\pi}{4}$

分离变量：
$$
\frac{dx}{1+e^{-x}} = -\frac{\sin y}{\cos y} dy
$$
左边乘 $e^x/e^x$：
$$
\frac{e^x}{e^x+1} dx = -\tan y \, dy
$$
积分：
$$
\ln(e^x+1) = \ln|\cos y| + C
$$
即：
$$
e^x+1 = C_1 \cos y
$$
代入 $\displaystyle x=0, y=\frac{\pi}{4}$：$\displaystyle 1+1 = C_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow C_1 = 2\sqrt{2}$
特解：
$$
e^x+1 = 2\sqrt{2} \cos y
$$

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(5)
方程：$y' = e^{2x-y}$，$y(0)=0$

改写：
$$
e^y dy = e^{2x} dx
$$
积分：
$$
e^y = \frac{1}{2} e^{2x} + C
$$
代入 $x=0, y=0$：$\displaystyle 1 = \frac12 + C \Rightarrow C=\frac12$
特解：
$$
e^y = \frac{e^{2x}+1}{2}
$$

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(6)
方程：$x y' + y = 3$，$y(1)=0$

改写为：
$$
(x y)' = 3
$$
积分：
$$
x y = 3x + C
$$
代入 $x=1, y=0$：$0 = 3 + C \Rightarrow C=-3$
特解：
$$
y = 3 - \frac{3}{x}
$$

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(7)
方程：$\displaystyle y' = \frac{x^2+y^2}{xy}$，$y(1)=1$

改写：
$$
y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}
$$
令 $u = y/x$，则 $y = ux$，$y' = u + x u'$
代入：
$$
u + x u' = \frac{1}{u} + u \Rightarrow x u' = \frac{1}{u}
$$
分离：
$$
u du = \frac{dx}{x}
$$
积分：
$$
\frac{u^2}{2} = \ln|x| + C
$$
代入 $x=1, u=1$：$\displaystyle \frac12 = 0 + C \Rightarrow C=\frac12$
得：
$$
\frac{y^2}{2x^2} = \ln|x| + \frac12
$$
即：
$$
y^2 = x^2(2\ln|x|+1)
$$

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(8)
方程：$\sin x \cos y \, dx = \cos x \sin y \, dy$，$\displaystyle y(0)=\frac{\pi}{4}$

分离：
$$
\frac{\sin x}{\cos x} dx = \frac{\sin y}{\cos y} dy
$$
即：
$$
\tan x \, dx = \tan y \, dy
$$
积分：
$$
-\ln|\cos x| = -\ln|\cos y| + C
$$
即：
$$
\cos y = C_1 \cos x
$$
代入 $\displaystyle x=0, y=\frac{\pi}{4}$：$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} = C_1$
特解：
$$
\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x
$$

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(9)
方程：$y' - y \tan x = \sec x$，$y(0)=0$

一阶线性，积分因子：
$$
\mu = e^{-\int \tan x dx} = e^{\ln|\cos x|} = \cos x
$$
乘两边：
$$
(\cos x \, y)' = 1
$$
积分：
$$
\cos x \, y = x + C
$$
代入 $x=0, y=0$：$0 = 0 + C \Rightarrow C=0$
特解：
$$
y = \frac{x}{\cos x}
$$

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(10)
方程：$x y' + y = \sin x$，$\displaystyle y(\frac{\pi}{2})=0$

改写：
$$
(x y)' = \sin x
$$
积分：
$$
x y = -\cos x + C
$$
代入 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}, y=0$：$0 = 0 + C \Rightarrow C=0$
特解：
$$
y = -\frac{\cos x}{x}
$$

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(11)
方程：$2x y' = y - x^3$，$y(1)=0$

改写：
$$
y' - \frac{1}{2x} y = -\frac{x^2}{2}
$$
积分因子：
$$
\mu = e^{-\int \frac{1}{2x} dx} = x^{-1/2}
$$
乘两边：
$$
(x^{-1/2} y)' = -\frac12 x^{3/2}
$$
积分：
$$
x^{-1/2} y = -\frac12 \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} + C = -\frac15 x^{5/2} + C
$$
代入 $x=1, y=0$：$\displaystyle 0 = -\frac15 + C \Rightarrow C=\frac15$
特解：
$$
y = \frac{x^{1/2}}{5} (1 - x^{2})
$$

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(12)
方程：$x^2 y' + (1-2x)y = x^2$，$y(1)=0$

改写：
$$
y' + \frac{1-2x}{x^2} y = 1
$$
积分因子：
$$
\mu = e^{\int \frac{1-2x}{x^2} dx} = e^{\int (x^{-2} - 2/x) dx} = e^{-1/x - 2\ln x} = \frac{e^{-1/x}}{x^2}
$$
乘两边：
$$
\left( \frac{e^{-1/x}}{x^2} y \right)' = \frac{e^{-1/x}}{x^2}
$$
积分：
$$
\frac{e^{-1/x}}{x^2} y = \int \frac{e^{-1/x}}{x^