人邮高数 第4章 第4-2-5题
📝 题目
5．一曲线通过点 $(2,3)$ ，它在两坐标轴之间的任意切线均被切点所平分，求该曲线的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
设曲线方程为 $y = y(x)$，且过点 $(2,3)$。
任取曲线上一点 $P(x_0, y_0)$，其中 $y_0 = y(x_0)$，该点处切线斜率为 $y'(x_0)$，切线方程为：
$$
y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)
$$
求该切线与两坐标轴的交点坐标：
令 $x = 0$，得纵截距
$$
Y = y_0 - x_0 y'(x_0)
$$
令 $y = 0$，得横截距
$$
X = x_0 - \frac{y_0}{y'(x_0)}
$$
因此切线与坐标轴的交点为 $(0, Y)$ 和 $(X, 0)$。
题意说：切点 $(x_0, y_0)$ 是这两交点所连线段的中点。
由中点公式：
$$
x_0 = \frac{X + 0}{2}, \quad y_0 = \frac{0 + Y}{2}
$$
代入 $X, Y$ 表达式：
由 $x_0 = \frac{X}{2}$ 得
$$
X = 2x_0 \quad\Rightarrow\quad x_0 - \frac{y_0}{y'(x_0)} = 2x_0
$$
化简得
$$
- \frac{y_0}{y'(x_0)} = x_0
$$
即
$$
y_0 = -x_0 y'(x_0) \tag{1}
$$
由 $y_0 = \frac{Y}{2}$ 得
$$
Y = 2y_0 \quad\Rightarrow\quad y_0 - x_0 y'(x_0) = 2y_0
$$
化简得
$$
- x_0 y'(x_0) = y_0
$$
这与(1)式一致，所以条件等价于微分方程：
$$
y = -x \frac{dy}{dx}
$$
分离变量：
$$
\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}
$$
积分得：
$$
\displaystyle{\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{x}}
$$
$$
\ln|y| = -\ln|x| + C
$$
$$
\ln|y| + \ln|x| = C
$$
$$
\ln|xy| = C
$$
$$
xy = \pm e^{C} = k
$$
即通解为
$$
xy = k
$$
由曲线过点 $(2,3)$，代入得 $2 \cdot 3 = k = 6$，所以曲线方程为：
$$
xy = 6
$$
因此所求曲线是等轴双曲线。
难度：★★☆☆☆