人邮高数 第4章 第4-2-6题
📝 题目
6．求一曲线方程，该曲线过原点，并且它在点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于 $2 x+y$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知曲线在点 $(x, y)$ 处的切线斜率为
$$
\frac{dy}{dx} = 2x + y
$$
并且曲线经过原点 $(0, 0)$。
这是一个一阶线性微分方程，写成标准形式：
$$
\frac{dy}{dx} - y = 2x
$$
其通解公式为
$$
y = e^{\int P(x)\,dx} \left( \int Q(x) e^{-\int P(x)\,dx} dx + C \right)
$$
这里 $P(x) = -1$，$Q(x) = 2x$。
先计算积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int (-1)\,dx} = e^{-x}
$$
于是通解为：
$$
y = e^{x} \left( \int 2x \cdot e^{-x} \, dx + C \right)
$$
计算积分 $\displaystyle{\int 2x e^{-x} dx}$，使用分部积分法：
令 $u = 2x$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du = 2 dx$，$v = -e^{-x}$，
$$
\int 2x e^{-x} dx = -2x e^{-x} + \int 2 e^{-x} dx = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C_1
$$
因此
$$
y = e^{x} \left( -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C \right) = -2x - 2 + C e^{x}
$$
利用初始条件 $x=0, y=0$：
$$
0 = -0 - 2 + C \cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C = 2
$$
所以曲线方程为：
$$
\boxed{y = 2e^{x} - 2x - 2}
$$
难度：★★☆☆☆