人邮高数 第4章 第4-3-10题
📝 题目
10．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ；
（2）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=4 x \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ；
（3）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=1,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ；
（4）$y^{\prime \prime}+y+\sin 2 x=0,\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=1$ ；
（5）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2(1-x),\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ；
（6）$y^{\prime \prime}-y=4 x \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的详细求解过程。
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（1）
方程：
$$y'' - 3y' + 2y = 5, \quad y(0)=1, \ y'(0)=2$$
Step 1：齐次解
特征方程：
$$r^2 - 3r + 2 = 0 \Rightarrow (r-1)(r-2)=0$$
得 $r_1=1,\ r_2=2$，故
$$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$
Step 2：特解
右端为常数，设 $y_p = A$，代入得
$$0 - 0 + 2A = 5 \Rightarrow A = \frac{5}{2}$$
所以
$$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + \frac{5}{2}$$
Step 3：代入初值
$$y(0)=C_1 + C_2 + \frac{5}{2} = 1 \Rightarrow C_1 + C_2 = -\frac{3}{2}$$
$$y'(x)=C_1 e^{x} + 2C_2 e^{2x} \Rightarrow y'(0)=C_1 + 2C_2 = 2$$
解得 $\displaystyle C_2 = \frac{7}{2},\ C_1 = -5$
答案：
$$y = -5 e^{x} + \frac{7}{2} e^{2x} + \frac{5}{2}$$
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（2）
方程：
$$y'' - y' = 4x e^{x}, \quad y(0)=0,\ y'(0)=1$$
Step 1：齐次解
特征方程 $r^2 - r = 0 \Rightarrow r(r-1)=0$，得
$$y_h = C_1 + C_2 e^{x}$$
Step 2：特解
右端 $4x e^{x}$，由于 $e^{x}$ 是齐次解的一部分，设
$$y_p = x(Ax+B)e^{x} = (A x^2 + B x)e^{x}$$
求导：
$$y_p' = (2Ax + B)e^{x} + (A x^2 + B x)e^{x} = (A x^2 + (2A+B)x + B)e^{x}$$
$$y_p'' = [2Ax + (2A+B)]e^{x} + [A x^2 + (2A+B)x + B]e^{x}$$
$$= [A x^2 + (4A+B)x + (2A+2B)]e^{x}$$
代入方程 $y'' - y'$：
$$[A x^2 + (4A+B)x + (2A+2B)] - [A x^2 + (2A+B)x + B] = (2A)x + (2A+B)$$
令等于 $4x$，比较系数：
$$2A = 4 \Rightarrow A=2$$
$$2A+B = 0 \Rightarrow B = -4$$
所以
$$y_p = (2x^2 - 4x)e^{x}$$
Step 3：通解与初值
$$y = C_1 + C_2 e^{x} + (2x^2 - 4x)e^{x}$$
$$y(0)=C_1 + C_2 = 0$$
$$y'(x)= C_2 e^{x} + (4x-4)e^{x} + (2x^2-4x)e^{x}$$
$$y'(0)=C_2 -4 = 1 \Rightarrow C_2 = 5,\ C_1 = -5$$
答案：
$$y = -5 + 5 e^{x} + (2x^2 - 4x)e^{x}$$
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（3）
方程：
$$y'' - 3y' + 2y = 1, \quad y(0)=2,\ y'(0)=2$$
Step 1：齐次解 同（1）：
$$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$
Step 2：特解 设 $y_p = A$，代入得 $\displaystyle 2A=1 \Rightarrow A=\frac12$
通解：
$$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + \frac12$$
Step 3：初值
$$y(0)=C_1 + C_2 + \frac12 = 2 \Rightarrow C_1 + C_2 = \frac32$$
$$y'(0)=C_1 + 2C_2 = 2$$
解得 $\displaystyle C_2 = \frac12,\ C_1 = 1$
答案：
$$y = e^{x} + \frac12 e^{2x} + \frac12$$
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（4）
方程：
$$y'' + y + \sin 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad y'' + y = -\sin 2x$$
初值：$y(\pi)=1,\ y'(\pi)=1$
Step 1：齐次解
特征方程 $r^2+1=0 \Rightarrow r = \pm i$
$$y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x$$
Step 2：特解
设 $y_p = A \sin 2x + B \cos 2x$，则
$$y_p'' = -4A\sin 2x -4B\cos 2x$$
代入：
$$(-4A\sin 2x -4B\cos 2x) + (A\sin 2x + B\cos 2x) = -3A\sin 2x -3B\cos 2x = -\sin 2x$$
比较得 $\displaystyle -3A = -1 \Rightarrow A = \frac13$，$-3B=0 \Rightarrow B=0$
所以
$$y_p = \frac13 \sin 2x$$
Step 3：通解与初值
$$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \frac13 \sin 2x$$
$$y(\pi)=C_1 \cos \pi + C_2 \sin \pi + \frac13 \sin 2\pi = -C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = -1$$
$$y'(x)= -C_1 \sin x + C_2 \cos x + \frac23 \cos 2x$$
$$y'(\pi)= -(-1)\cdot 0 + C_2 (-1) + \frac23 \cdot 1 = -C_2 + \frac23 = 1 \Rightarrow C_2 = -\frac13$$
答案：
$$y = -\cos x - \frac13 \sin x + \frac13 \sin 2x$$
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（5）
方程：
$$y'' - y' = 2(1-x), \quad y(0)=1,\ y'(0)=1$$
Step 1：齐次解
$r^2 - r = 0 \Rightarrow r=0,1$
$$y_h = C_1 + C_2 e^{x}$$
Step 2：特解
设 $y_p = Ax^2 + Bx$（因为常数已含于齐次解）
$$y_p' = 2Ax + B,\quad y_p'' = 2A$$
代入：
$$2A - (2Ax + B) = -2Ax + (2A - B) = 2 - 2x$$
比较系数：
$-2A = -2 \Rightarrow A=1$
$2A - B = 2 \Rightarrow 2 - B = 2 \Rightarrow B=0$
所以
$$y_p = x^2$$
Step 3：通解与初值
$$y = C_1 + C_2 e^{x} + x^2$$
$$y(0)=C_1 + C_2 = 1$$
$$y'(x)= C_2 e^{x} + 2x \Rightarrow y'(0)=C_2 = 1$$
得 $C_2=1,\ C_1=0$
答案：
$$y = e^{x} + x^2$$
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（6）
方程：
$$y'' - y = 4x e^{x}, \quad y(0)=1,\ y'(0)=1$$
Step 1：齐次解
$r^2 - 1 = 0 \Rightarrow r = \pm 1$
$$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}$$
Step 2：特解