人邮高数 第4章 第4-3-3题
📝 题目
3．求微分方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}+\frac{1}{y^{2}}=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1\end{array}\right.$ 的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解微分方程初值问题：
$$
\begin{cases}
2 y'' + \frac{1}{y^2} = 0, \$$5pt]
y(0) = 1, \quad y'(0) = 1.
\end{cases}
$$
第一步：降阶处理
方程中不显含自变量 $x$，因此可令 $p = y'$，则
$$
y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}.
$$
代入原方程：
$$
2 p \frac{dp}{dy} + \frac{1}{y^2} = 0.
$$
第二步：分离变量并积分
分离变量得：
$$
2p \, dp = -\frac{1}{y^2} \, dy.
$$
两边积分：
$$
\int 2p \, dp = -\int y^{-2} \, dy,
$$
即
$$
p^2 = \frac{1}{y} + C_1.
$$
第三步：利用初始条件确定常数
由 $x=0$ 时，$y=1$，$y'=p=1$，代入得：
$$
1^2 = \frac{1}{1} + C_1 \quad\Rightarrow\quad 1 = 1 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 0.
$$
因此有
$$
p^2 = \frac{1}{y} \quad\Rightarrow\quad p = \frac{1}{\sqrt{y}} \quad (\text{取正号，因为初始 } p=1>0).
$$
**第四步：再次分离变量求 $y(x)$**
由 $p = \frac{dy}{dx} = y^{-1/2}$，得
$$
\sqrt{y} \, dy = dx.
$$
积分：
$$
\int y^{1/2} \, dy = \int dx,
$$
即
$$
\frac{2}{3} y^{3/2} = x + C_2.
$$
**第五步：利用初始条件确定 $C_2$**
当 $x=0$，$y=1$：
$$
\frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} = 0 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{2}{3}.
$$
于是
$$
\frac{2}{3} y^{3/2} = x + \frac{2}{3}.
$$
第六步：写出显式解
两边乘以 $\frac{3}{2}$：
$$
y^{3/2} = \frac{3}{2}x + 1.
$$
因此
$$
y = \left( \frac{3}{2}x + 1 \right)^{2/3}.
$$
这就是满足初值条件的特解，由于方程是非线性的，通解由这个特解给出（在给定初值下唯一确定）。
最终答案：
$$
\boxed{y = \left( \frac{3}{2}x + 1 \right)^{\frac{2}{3}}}
$$
难度：★★☆☆☆