人邮高数 第4章 第4-3-6题
📝 题目
6．求下列微分方程的通解：
（1） $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0$ ；
（2）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0$ ；
（3）$y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}=0$ ；
（4）$y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}-11 y=0$ ；
（5）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$ ；
（6）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ ；
（7）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0$ ；
（8）$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ；
（9）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$ ；
（10）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+y=0$ ；
（11）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0$ ；
（12）$y^{(4)}+3 y^{\prime \prime}-4 y=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各题求解过程，均使用特征方程法解常系数齐次线性微分方程。
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（1）
方程：$4 y'' + 4 y' + y = 0$
特征方程：$4 r^2 + 4 r + 1 = 0$
即 $(2r+1)^2 = 0$，解得 $\displaystyle r = -\frac{1}{2}$（二重根）
通解：
$$
\displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-\frac{1}{2}x}
$$
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（2）
方程：$y'' - 4 y' + 13 y = 0$
特征方程：$r^2 - 4r + 13 = 0$
判别式 $\Delta = 16 - 52 = -36$，解得 $r = 2 \pm 3i$
通解：
$$
\displaystyle y(x) = e^{2x}(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)
$$
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（3）
方程：$y'' - 5 y' = 0$
特征方程：$r^2 - 5r = 0$，即 $r(r-5)=0$，解得 $r=0,\ 5$
通解：
$$
\displaystyle y(x) = C_1 + C_2 e^{5x}
$$
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（4）
方程：$y'' - 10 y' - 11 y = 0$
特征方程：$r^2 - 10r - 11 = 0$
解得 $\displaystyle r = \frac{10 \pm \sqrt{100+44}}{2} = \frac{10 \pm 12}{2}$，即 $r=11,\ -1$
通解：
$$
\displaystyle y(x) = C_1 e^{11x} + C_2 e^{-x}
$$
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（5）
方程：$y'' + y' = 0$
特征方程：$r^2 + r = 0$，即 $r(r+1)=0$，解得 $r=0,\ -1$
通解：
$$
\displaystyle y(x) = C_1 + C_2 e^{-x}
$$
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（6）
方程：$y'' - 3y' + 2y = 0$
特征方程：$r^2 - 3r + 2 = 0$，解得 $r=1,\ 2$
通解：
$$
\displaystyle y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}
$$
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（7）
方程：$y'' - 6y' + 9y = 0$
特征方程：$r^2 - 6r + 9 = 0$，即 $(r-3)^2=0$，解得 $r=3$（二重根）
通解：
$$
\displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x}
$$
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（8）
方程：$y'' + 2y' + y = 0$
特征方程：$r^2 + 2r + 1 = 0$，即 $(r+1)^2=0$，解得 $r=-1$（二重根）
通解：
$$
\displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-x}
$$
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（9）
方程：$y'' - 4y' + 5y = 0$
特征方程：$r^2 - 4r + 5 = 0$
判别式 $\Delta = 16 - 20 = -4$，解得 $r = 2 \pm i$
通解：
$$
\displaystyle y(x) = e^{2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x)
$$
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（10）
方程：$y^{(4)} - 2y'' + y = 0$
特征方程：$r^4 - 2r^2 + 1 = 0$，即 $(r^2 - 1)^2 = 0$
解得 $r = \pm 1$，均为二重根
通解：
$$
\displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{x} + (C_3 + C_4 x)e^{-x}
$$
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（11）
方程：$y^{(4)} + 2y'' + y = 0$
特征方程：$r^4 + 2r^2 + 1 = 0$，即 $(r^2+1)^2 = 0$
解得 $r = \pm i$，均为二重根
通解：
$$
\displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x)\cos x + (C_3 + C_4 x)\sin x
$$
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（12）
方程：$y^{(4)} + 3y'' - 4y = 0$
特征方程：$r^4 + 3r^2 - 4 = 0$
令 $t = r^2$，则 $t^2 + 3t - 4 = 0$，解得 $t = 1$ 或 $t = -4$
即 $r^2 = 1$ 得 $r = \pm 1$；$r^2 = -4$ 得 $r = \pm 2i$
通解：
$$
\displaystyle y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + C_3 \cos 2x + C_4 \sin 2x
$$
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难度评级：★☆☆☆☆
（所有题目均为常系数齐次线性微分方程，仅需写出特征方程并求解，方法统一，计算简单。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出特征方程
对于常系数齐次线性微分方程，将y的k阶导数替换为r^k，得到特征方程。
公式：ay''+by'+cy=0 → ar^2+br+c=0
提示：注意高阶方程类似处理。
步骤 2/3
目标：求解特征根
解特征方程，得到根r。可能为单实根、重实根或共轭复根。
公式：一元二次方程求根公式，或因式分解。
提示：重根需注意通解形式。
步骤 3/3
目标：根据根的类型写出通解
单实根r对应e^{rx}；重实根r（m重）对应(C1+C2x+...+Cmx^{m-1})e^{rx}；共轭复根α±βi对应e^{αx}(C1cosβx+C2sinβx)。
公式：见详细内容。
提示：高阶方程类似。
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