人邮高数 第4章 第4-3-7题
📝 题目
7．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-5$ ；
（2）$y^{\prime \prime}+25 y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ；
（3）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ；
（4）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ；
（5）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-1$ ；
（6）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ；
（7）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ；
（8）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}=-1$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的详细求解过程，均使用特征方程法求解常系数线性齐次微分方程，并代入初始条件确定特解。
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（1）
方程：$y'' - 3y' - 4y = 0$
特征方程：$r^2 - 3r - 4 = 0$
解得：$r_1 = 4,\ r_2 = -1$
通解：$y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x}$
由 $y(0)=0$ 得：$C_1 + C_2 = 0$
由 $y'(0) = -5$ 得：$4C_1 - C_2 = -5$
解得：$C_1 = -1,\ C_2 = 1$
特解：
$$
\boxed{y = -e^{4x} + e^{-x}}
$$
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（2）
方程：$y'' + 25y = 0$
特征方程：$r^2 + 25 = 0$
解得：$r = \pm 5i$
通解：$y = C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x$
由 $y(0)=2$ 得：$C_1 = 2$
由 $y'(0)=15$ 得：$5C_2 = 15 \Rightarrow C_2 = 3$
特解：
$$
\boxed{y = 2\cos 5x + 3\sin 5x}
$$
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（3）
方程：$y'' + 4y' + 29y = 0$
特征方程：$r^2 + 4r + 29 = 0$
解得：$r = -2 \pm 5i$
通解：$y = e^{-2x}(C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x)$
由 $y(0)=0$ 得：$C_1 = 0$
由 $y'(0)=15$ 得：$y' = e^{-2x}(5C_2 \cos 5x - 2C_2 \sin 5x)$，代入 $x=0$ 得 $5C_2 = 15 \Rightarrow C_2 = 3$
特解：
$$
\boxed{y = 3e^{-2x} \sin 5x}
$$
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（4）
方程：$y'' + y' - 2y = 0$
特征方程：$r^2 + r - 2 = 0$
解得：$r_1 = 1,\ r_2 = -2$
通解：$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}$
由 $y(0)=0$ 得：$C_1 + C_2 = 0$
由 $y'(0)=3$ 得：$C_1 - 2C_2 = 3$
解得：$C_1 = 1,\ C_2 = -1$
特解：
$$
\boxed{y = e^{x} - e^{-2x}}
$$
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（5）
方程：$y'' + y' = 0$
特征方程：$r^2 + r = 0$
解得：$r_1 = 0,\ r_2 = -1$
通解：$y = C_1 + C_2 e^{-x}$
由 $y(0)=2$ 得：$C_1 + C_2 = 2$
由 $y'(0)=-1$ 得：$-C_2 = -1 \Rightarrow C_2 = 1$
则 $C_1 = 1$
特解：
$$
\boxed{y = 1 + e^{-x}}
$$
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（6）
方程：$y'' + 4y' + 4y = 0$
特征方程：$r^2 + 4r + 4 = 0$
解得：$r = -2$（二重根）
通解：$y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$
由 $y(0)=0$ 得：$C_1 = 0$
由 $y'(0)=1$ 得：$y' = C_2 e^{-2x} - 2C_2 x e^{-2x}$，代入 $x=0$ 得 $C_2 = 1$
特解：
$$
\boxed{y = x e^{-2x}}
$$
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（7）
方程：$y'' - y' + y = 0$
特征方程：$r^2 - r + 1 = 0$
解得：$\displaystyle r = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$
通解：$\displaystyle y = e^{\frac{x}{2}}\left(C_1 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_2 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$
由 $y(0)=0$ 得：$C_1 = 0$
由 $y'(0)=2$ 得：$\displaystyle y' = e^{\frac{x}{2}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}C_2 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}C_2 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$，代入 $x=0$ 得 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}C_2 = 2 \Rightarrow C_2 = \frac{4}{\sqrt{3}}$
特解：
$$
\boxed{y = \frac{4}{\sqrt{3}} e^{\frac{x}{2}} \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x}
$$
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（8）
方程：$y''' + 2y'' + y' = 0$
特征方程：$r^3 + 2r^2 + r = 0$
因式分解：$r(r^2 + 2r + 1) = r(r+1)^2 = 0$
解得：$r_1 = 0,\ r_2 = -1$（二重根）
通解：$y = C_1 + (C_2 + C_3 x)e^{-x}$
由 $y(0)=2$ 得：$C_1 + C_2 = 2$
由 $y'(0)=0$ 得：$y' = C_3 e^{-x} - (C_2 + C_3 x)e^{-x}$，代入 $x=0$ 得 $C_3 - C_2 = 0 \Rightarrow C_3 = C_2$
由 $y''(0)=-1$ 得：$y'' = -2C_3 e^{-x} + (C_2 + C_3 x)e^{-x}$，代入 $x=0$ 得 $-2C_3 + C_2 = -1$
代入 $C_3 = C_2$ 得 $-2C_2 + C_2 = -1 \Rightarrow -C_2 = -1 \Rightarrow C_2 = 1$，则 $C_3 = 1$，$C_1 = 1$
特解：
$$
\boxed{y = 1 + (1 + x)e^{-x}}
$$
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难度评级：★★☆☆☆
（均为常系数线性齐次方程，解法统一，计算量较小，但需注意复根与重根情形。）