人邮高数 第4章 第4-4-1题
📝 题目
1．质量为 1 g 的质点受外力作用做直线运动，外力与时间成正比．在 $t=10 \mathrm{~s}$ 时，速率为 $50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，外力为 $4 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}$ 。从运动开始经过 1 min 后的速率是多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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题目分析
已知质点质量 $ m = 1 \, \text{g} $，外力 $ F $ 与时间 $ t $ 成正比，即
$$
F(t) = k t
$$
其中 $ k $ 为比例常数。由牛顿第二定律
$$
F = m a = m \frac{dv}{dt}
$$
代入 $ m=1 $ 得
$$
\frac{dv}{dt} = k t
$$
积分可求出速度随时间的变化关系。
**步骤1：确定比例常数 $ k $**
已知在 $ t = 10 \, \text{s} $ 时，外力 $ F = 4 \, \text{g} \cdot \text{cm}/\text{s}^2 $，由
$$
F(t) = k t
$$
得
$$
4 = k \cdot 10 \quad \Rightarrow \quad k = 0.4
$$
单位是 $ \text{g} \cdot \text{cm}/\text{s}^3 $。
步骤2：建立速度微分方程并积分
由
$$
\frac{dv}{dt} = k t = 0.4 t
$$
两边积分：
$$
v(t) = \int 0.4 t \, dt = 0.2 t^2 + C
$$
其中 $ C $ 为积分常数。
**步骤3：利用初始条件确定常数 $ C $**
已知 $ t = 10 \, \text{s} $ 时，$ v = 50 \, \text{cm/s} $，代入：
$$
50 = 0.2 \times (10)^2 + C = 0.2 \times 100 + C = 20 + C
$$
解得
$$
C = 30
$$
因此速度函数为
$$
v(t) = 0.2 t^2 + 30
$$
**步骤4：求 $ t = 1 \, \text{min} = 60 \, \text{s} $ 时的速率**
$$
v(60) = 0.2 \times (60)^2 + 30 = 0.2 \times 3600 + 30 = 720 + 30 = 750 \, \text{cm/s}
$$
最终答案
$$
\boxed{750\ \mathrm{cm/s}}
$$
难度：★☆☆☆☆
（直接应用牛顿第二定律与简单积分，步骤清晰，计算量小）