人邮高数 第4章 第4-4-2题
📝 题目
2．镭的衰变与它的现存量 $R$ 成正比，经过 1600 年以后，只余下原始量 $R_{0}$ 的一半。试求镭的现存量 $R$ 与时间 $t$ 的函数关系．
💡 答案解析
[AI解答]
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设镭的现存量为 $R(t)$，根据题意，其衰变速率与现存量成正比，即
$$
\frac{dR}{dt} = -kR
$$
其中 $k>0$ 为比例常数（负号表示减少）。
这是一个一阶可分离变量微分方程，分离变量得
$$
\frac{dR}{R} = -k\,dt
$$
两边积分：
$$
\int \frac{1}{R}\,dR = -k\int dt
$$
得到
$$
\ln R = -kt + C
$$
其中 $C$ 为积分常数。两边取指数得
$$
R(t) = e^{-kt + C} = e^{C} e^{-kt}
$$
令 $R_0 = e^{C}$，即初始时刻 $t=0$ 时的存量，则
$$
R(t) = R_0 e^{-kt}
$$
已知经过 1600 年后，剩余量为原始量的一半，即
$$
R(1600) = \frac{R_0}{2}
$$
代入得
$$
R_0 e^{-1600k} = \frac{R_0}{2}
$$
两边约去 $R_0$（$R_0>0$），得
$$
e^{-1600k} = \frac{1}{2}
$$
取自然对数：
$$
-1600k = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2
$$
所以
$$
k = \frac{\ln 2}{1600}
$$
因此，镭的现存量与时间的函数关系为
$$
\boxed{R(t) = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{1600}\,t}}
$$
也可写作
$$
R(t) = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1600}}
$$
难度：★☆☆☆☆