人邮高数 第4章 第4-4-3题

[AI解答]

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我们考虑质量为 $ m $ 的物体垂直上抛，取竖直向上为正方向。物体在上升过程中受到两个力：
- 重力 $ mg $，方向向下，因此为负；
- 空气阻力与速度成正比，方向与运动方向相反，即向下，故阻力为 $ -k v $，其中 $ k>0 $ 为比例系数。

由牛顿第二定律：
$$
m \frac{dv}{dt} = -mg - k v
$$
整理为：
$$
\frac{dv}{dt} = -g - \frac{k}{m} v
$$
这是一个一阶线性微分方程，用分离变量法求解。
将方程改写为：
$$
\frac{dv}{g + \frac{k}{m} v} = - dt
$$
两边积分：
$$
\int \frac{dv}{g + \frac{k}{m} v} = -\int dt
$$
计算左边积分，令 $ u = g + \frac{k}{m} v $，则 $ du = \frac{k}{m} dv $，即 $ dv = \frac{m}{k} du $，于是：
$$
\int \frac{1}{u} \cdot \frac{m}{k} du = \frac{m}{k} \ln |u| + C_1
$$
因此：
$$
\frac{m}{k} \ln\left(g + \frac{k}{m} v\right) = -t + C
$$
其中 $ C $ 为积分常数。两边乘以 $ \frac{k}{m} $：
$$
\ln\left(g + \frac{k}{m} v\right) = -\frac{k}{m} t + C'
$$
取指数：
$$
g + \frac{k}{m} v = e^{-\frac{k}{m} t + C'} = C_2 e^{-\frac{k}{m} t}
$$
即：
$$
\frac{k}{m} v = C_2 e^{-\frac{k}{m} t} - g
$$
所以：
$$
v(t) = \frac{m}{k} \left( C_2 e^{-\frac{k}{m} t} - g \right)
$$
利用初始条件 $ t=0 $ 时，$ v(0)=v_0 $，代入得：
$$
v_0 = \frac{m}{k} (C_2 - g) \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{k}{m} v_0 + g
$$
因此速度与时间的函数关系为：
$$
v(t) = \frac{m}{k} \left[ \left( \frac{k}{m} v_0 + g \right) e^{-\frac{k}{m} t} - g \right]
$$
也可整理为：
$$
v(t) = v_0 e^{-\frac{k}{m} t} - \frac{mg}{k} \left(1 - e^{-\frac{k}{m} t}\right)
$$

难度评级：★★☆☆☆
（涉及牛顿第二定律与一阶线性微分方程分离变量法，计算稍需细心，但思路直接）