人邮高数 第4章 第4-4-6题
📝 题目
6．大炮以仰角 $\alpha$ 、初速度 $v_{0}$ 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线．
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 基本概念 & 了解微分方程、阶、通解、特解、初始条件、初值问题的概念 \\
\hline 一阶微分方程 & \begin{tabular}{l}
掌握可分离变量方程和齐次方程的解法 \\
会求一阶线性微分方程的解
\end{tabular} \\
\hline 二阶微分方程 & \begin{tabular}{l}
了解 二阶微分方程解的结构 \\
会求 可降阶的二阶微分方程的解 \\
掌握二阶齐次线性微分方程的解法 \\
会求二阶非齐次线性微分方程（两种基本类型）
\end{tabular} \\
\hline 微分方程应用 & 会用微分方程求解一些简单的几何问题和物理问题 \\
\hline
\end{tabular}
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
本题要求在不计空气阻力的情况下，求炮弹运动的弹道曲线。这是一个典型的物理问题，可以通过建立并求解微分方程得到。
1. 建立微分方程
取炮弹发射点为坐标原点，水平方向为 $x$ 轴，竖直向上为 $y$ 轴。炮弹在运动过程中只受重力作用，加速度为重力加速度 $g$，方向竖直向下。
设炮弹在时刻 $t$ 的位置为 $(x(t), y(t))$。根据牛顿第二定律，水平方向无外力，加速度为0；竖直方向加速度为 $-g$。因此有：
$$
\frac{d^2 x}{dt^2} = 0, \quad \frac{d^2 y}{dt^2} = -g.
$$
2. 确定初始条件
炮弹的初速度大小为 $v_0$，仰角为 $\alpha$，因此初始速度分量为：
$$
v_x(0) = v_0 \cos\alpha, \quad v_y(0) = v_0 \sin\alpha.
$$
初始位置为原点：
$$
x(0) = 0, \quad y(0) = 0.
$$
3. 求解微分方程
首先对水平方向方程积分：
$$
\frac{dx}{dt} = C_1.
$$
代入初始条件 $\displaystyle{\frac{dx}{dt}\big|_{t=0} = v_0 \cos\alpha}$，得 $C_1 = v_0 \cos\alpha$，所以
$$
\frac{dx}{dt} = v_0 \cos\alpha.
$$
再积分一次：
$$
x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t + C_2.
$$
由 $x(0)=0$ 得 $C_2 = 0$，因此
$$
x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t. \tag{1}
$$
对竖直方向方程积分：
$$
\frac{dy}{dt} = -g t + C_3.
$$
代入初始条件 $\displaystyle{\frac{dy}{dt}\big|_{t=0} = v_0 \sin\alpha}$，得 $C_3 = v_0 \sin\alpha$，所以
$$
\frac{dy}{dt} = -g t + v_0 \sin\alpha.
$$
再积分一次：
$$
y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 \sin\alpha \cdot t + C_4.
$$
由 $y(0)=0$ 得 $C_4 = 0$，因此
$$
y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 \sin\alpha \cdot t. \tag{2}
$$
**4. 消去参数 $t$ 得到弹道曲线方程**
由式(1)解出 $t = \displaystyle{\frac{x}{v_0 \cos\alpha}}$，代入式(2)：
$$
y = -\frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0 \cos\alpha} \right)^2 + v_0 \sin\alpha \cdot \frac{x}{v_0 \cos\alpha}.
$$
化简得：
$$
y = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} x^2.
$$
这就是炮弹的弹道曲线方程，是一条开口向下的抛物线。
最终答案：
$$
\boxed{y = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} x^2}
$$
难度：★★☆☆☆