人邮高数 第5章 第5-1-1题
📝 题目
1．填空题．
（1）已知点 $A(2,-1,1)$ ，则点 $A$ 与 $z$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$ ，与 $y$ 轴的距离是
$\_\_\_\_$ ，与 $x$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$。
（2）向 量 $\boldsymbol{a}=(-2,6,-3)$ 的模为 $|\boldsymbol{a}|=$ $\_\_\_\_$ ，方 向 余 弦 为
$\cos \alpha=$ $\_\_\_\_$ ， $\cos \beta=$ $\_\_\_\_$ ， $\cos \gamma=$ $\_\_\_\_$ ，与 $\boldsymbol{a}$ 同方向的单位向量 $\boldsymbol{e}_{a}=$
$\_\_\_\_$。
（3）设 $\alpha, \beta, \gamma$ 是向量 $\boldsymbol{a}$ 的三个方向角，则 $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma=$ $\_\_\_\_$ ．
（4）设向量 $\boldsymbol{a}=(2,-1,4)$ 与向量 $\boldsymbol{b}=(1, k, 2)$ 平行，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
（5）已知三点 $M_{1}(1,-2,3), M_{2}(1,1,4), M_{3}(2,0,2)$ ，则 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \cdot \overrightarrow{M_{1} M_{3}} =$ $\_\_\_\_$ ， $\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \times \overrightarrow{M_{1} M_{3}}=$ $\_\_\_\_$ ．
（6）以点 $A(2,-1,-2) 、 B(0,2,1) 、 C(2,3,0)$ 为顶点，作平行四边形 $A B C D$ ，此平行四边形的面积等于 $\_\_\_\_$ ．
（7）向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,1)$ 在 $\boldsymbol{b}=(2,1,2)$ 上的投影 $\operatorname{Prj}_{b} \boldsymbol{a}=$ $\_\_\_\_$ ， $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影 $\operatorname{Prj}_{a} \boldsymbol{b}=$ $\_\_\_\_$ ．
（8）设 $\boldsymbol{a}=(1,2,3), \boldsymbol{b}=(-2, k, 4)$ ，而 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
[AI解答]
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习题5-1 填空题解答
(1)
已知点 $A(2,-1,1)$。
- 到 $z$ 轴的距离：即点 $A$ 到 $z$ 轴上任一点 $(0,0,z)$ 的最小距离，等价于 $\sqrt{x^2+y^2}$。
$$
\sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}
$$
- 到 $y$ 轴的距离：$\sqrt{x^2+z^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$。
- 到 $x$ 轴的距离：$\sqrt{y^2+z^2} = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}$。
答案：$\sqrt{5},\ \sqrt{5},\ \sqrt{2}$
(2)
向量 $\boldsymbol{a}=(-2,6,-3)$。
模：
$$
|\boldsymbol{a}| = \sqrt{(-2)^2+6^2+(-3)^2} = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49}=7
$$
方向余弦：
$$
\cos\alpha = \frac{-2}{7},\quad \cos\beta = \frac{6}{7},\quad \cos\gamma = \frac{-3}{7}
$$
同方向单位向量：
$$
\boldsymbol{e}_a = \left( -\frac{2}{7},\ \frac{6}{7},\ -\frac{3}{7} \right)
$$
答案：$7,\ -\frac{2}{7},\ \frac{6}{7},\ -\frac{3}{7},\ \left( -\frac{2}{7},\frac{6}{7},-\frac{3}{7} \right)$
(3)
由方向余弦性质：
$$
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = 1
$$
则：
$$
\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma = (1-\cos^2\alpha)+(1-\cos^2\beta)+(1-\cos^2\gamma) = 3-1 = 2
$$
答案：$2$
(4)
向量平行对应坐标成比例：
$$
\frac{2}{1} = \frac{-1}{k} = \frac{4}{2}
$$
由 $\frac{2}{1}=2$，得 $\frac{-1}{k}=2 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$。
答案：$-\frac{1}{2}$
(5)
计算向量：
$$
\overrightarrow{M_1M_2} = (1-1,\ 1-(-2),\ 4-3) = (0,3,1)
$$
$$
\overrightarrow{M_1M_3} = (2-1,\ 0-(-2),\ 2-3) = (1,2,-1)
$$
点积：
$$
(0,3,1)\cdot(1,2,-1) = 0\cdot1+3\cdot2+1\cdot(-1) = 6-1 = 5
$$
叉积：
$$
\overrightarrow{M_1M_2}\times\overrightarrow{M_1M_3} =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
0 & 3 & 1 \\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}
= \boldsymbol{i}(3\cdot(-1)-1\cdot2) - \boldsymbol{j}(0\cdot(-1)-1\cdot1) + \boldsymbol{k}(0\cdot2-3\cdot1)
$$
$$
= \boldsymbol{i}(-3-2) - \boldsymbol{j}(0-1) + \boldsymbol{k}(0-3) = (-5,1,-3)
$$
答案：$5,\ (-5,1,-3)$
(6)
取 $A(2,-1,-2), B(0,2,1), C(2,3,0)$，则：
$$
\overrightarrow{AB} = (-2,3,3),\quad \overrightarrow{AC} = (0,4,2)
$$
平行四边形面积：
$$
S = |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|
$$
计算叉积：
$$
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
-2 & 3 & 3 \\
0 & 4 & 2
\end{vmatrix}
= \boldsymbol{i}(3\cdot2-3\cdot4) - \boldsymbol{j}((-2)\cdot2-3\cdot0) + \boldsymbol{k}((-2)\cdot4-3\cdot0)
$$
$$
= \boldsymbol{i}(6-12) - \boldsymbol{j}(-4-0) + \boldsymbol{k}(-8-0) = (-6,4,-8)
$$
模：
$$
\sqrt{(-6)^2+4^2+(-8)^2} = \sqrt{36+16+64} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}
$$
答案：$2\sqrt{29}$
(7)
向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,1),\ \boldsymbol{b}=(2,1,2)$。
投影公式：
$$
\operatorname{Prj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}
$$
点积：
$$
4\cdot2 + (-3)\cdot1 + 1\cdot2 = 8-3+2 = 7
$$
模：
$$
|\boldsymbol{b}| = \sqrt{4+1+4} = 3
$$
所以：
$$
\operatorname{Prj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a} = \frac{7}{3}
$$
同理：
$$
\operatorname{Prj}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{b} = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{7}{\sqrt{16+9+1}} = \frac{7}{\sqrt{26}}
$$
答案：$\frac{7}{3},\ \frac{7}{\sqrt{26}}$
(8)
垂直条件：点积为零。
$$
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 1\cdot(-2) + 2\cdot k + 3\cdot4 = -2 + 2k + 12 = 2k+10 = 0
$$
解得：
$$
k = -5
$$
答案：$-5$
---
难度评级：★☆☆☆☆