人邮高数 第5章 第5-1-15题

[AI解答]

[AI解答]
已知向量
$$
\boldsymbol{a} = (2, 3, 1), \quad \boldsymbol{b} = (1, -2, 1)
$$
我们计算叉积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$。

叉积公式为：
若 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
$$

代入数值：
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 3 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{vmatrix}
$$
按第一行展开：
$$
= \mathbf{i} \cdot
\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
-2 & 1
\end{vmatrix}
- \mathbf{j} \cdot
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{vmatrix}
+ \mathbf{k} \cdot
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
1 & -2
\end{vmatrix}
$$
计算各行列式：
$$
\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
-2 & 1
\end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot (-2) = 3 + 2 = 5
$$
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 2 - 1 = 1
$$
$$
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
1 & -2
\end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = -4 - 3 = -7
$$
因此
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = 5\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + (-7)\mathbf{k} = (5, -1, -7)
$$

由叉积性质 $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} = -(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})$，得
$$
\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} = (-5, 1, 7)
$$

最终结果：
$$
\boxed{\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (5, -1, -7),\quad \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} = (-5, 1, 7)}
$$

难度：★☆☆☆☆