人邮高数 第5章 第5-1-26题

[AI解答]

[AI解答]
我们利用向量积的几何意义来证明三角形中的正弦定理。

设三角形 $ABC$ 的三个顶点对应的位置向量分别为 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$，并记
$$
\overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{b}, \quad
\overrightarrow{CA} = \vec{b} - \vec{c}, \quad
\overrightarrow{AB} = \vec{c} - \vec{a}.
$$
三角形的边长记为
$$
BC = a,\quad CA = b,\quad AB = c,
$$
对应的对角分别为 $A, B, C$（即角 $A$ 对应边 $a$，角 $B$ 对应边 $b$，角 $C$ 对应边 $c$）。

向量积的模等于两向量长度与夹角正弦的乘积。例如：
$$
|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\,\sin A = c\,b\,\sin A.
$$
另一方面，这个向量积的模也等于三角形面积的两倍，因为
$$
\text{面积} = \frac12 |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|.
$$
同理，对于另外两边，有
$$
|\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC}| = c\,a\,\sin B,
\quad
|\overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CB}| = b\,a\,\sin C.
$$
由于这三个向量积的模都等于三角形面积的两倍，因此它们相等：
$$
bc\sin A = ca\sin B = ab\sin C.
$$
将等式各项同时除以 $abc$（假设边长均不为零），得到
$$
\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}.
$$
这就是三角形中的正弦定理。

难度：★★☆☆☆