人邮高数 第5章 第5-1-27题

教材习题

📝 题目

27．已知向量 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}, \boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$ ，证明：

$$
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2} \cdot|\boldsymbol{b}|^{2}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2} .
$$

💡 答案解析

[AI解答]

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证明：
设向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$，其中 $0 \le \theta \le \pi$。
由向量叉积的模长公式，有
$$
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}| \sin\theta,
$$
两边平方得
$$
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} \sin^{2}\theta.
$$
又由点积公式，
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}| \cos\theta,
$$
所以
$$
(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} \cos^{2}\theta.
$$
于是
$$
|\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2}
= |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} (1 - \cos^{2}\theta)
= |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} \sin^{2}\theta.
$$
因此
$$
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2}.
$$
证毕。

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：引入向量夹角并写出叉积模长公式
设向量 a, b 的夹角为 θ，其中 0 ≤ θ ≤ π。由向量叉积的模长公式，有 |a × b| = |a| |b| sinθ。
公式：|a × b| = |a| |b| sinθ
提示：注意夹角范围，sinθ非负。
步骤 2/5
目标：两边平方得到叉积模长的平方表达式
将上式两边平方，得 |a × b|² = |a|² |b|² sin²θ。
公式：|a × b|² = |a|² |b|² sin²θ
步骤 3/5
目标：写出点积公式并平方
由点积公式，a·b = |a| |b| cosθ，两边平方得 (a·b)² = |a|² |b|² cos²θ。
公式：(a·b)² = |a|² |b|² cos²θ
步骤 4/5
目标：计算右边表达式并利用三角恒等式
计算 |a|² |b|² - (a·b)² = |a|² |b|² - |a|² |b|² cos²θ = |a|² |b|² (1 - cos²θ) = |a|² |b|² sin²θ。
公式：1 - cos²θ = sin²θ
提示：利用 sin²θ + cos²θ = 1。
步骤 5/5
目标：比较两边得出结论
因此 |a × b|² = |a|² |b|² - (a·b)²，证毕。

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