人邮高数 第5章 第5-1-4题
📝 题目
4．从点 $A(2,-1,7)$ 沿向量 $\boldsymbol{a}=(8,9,-12)$ 方向取长为 34 的线段 $A B$ ，求点 $B$ 的坐标。
💡 答案解析
[AI解答]
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已知点 $A(2,-1,7)$，方向向量 $\boldsymbol{a}=(8,9,-12)$，要沿此方向取长度为 34 的线段 $AB$，求点 $B$ 的坐标。
首先计算向量 $\boldsymbol{a}$ 的模：
$$
|\boldsymbol{a}| = \sqrt{8^2 + 9^2 + (-12)^2}
= \sqrt{64 + 81 + 144}
= \sqrt{289} = 17.
$$
因此，沿 $\boldsymbol{a}$ 方向的单位向量为：
$$
\boldsymbol{u} = \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}
= \left( \frac{8}{17},\ \frac{9}{17},\ -\frac{12}{17} \right).
$$
要取长度为 34 的线段，即从 $A$ 出发沿 $\boldsymbol{u}$ 方向移动距离 34，所以位移向量为：
$$
\overrightarrow{AB} = 34 \cdot \boldsymbol{u}
= 34 \cdot \left( \frac{8}{17},\ \frac{9}{17},\ -\frac{12}{17} \right)
= \left( 34 \cdot \frac{8}{17},\ 34 \cdot \frac{9}{17},\ 34 \cdot \frac{-12}{17} \right).
$$
计算各分量：
$$
34 \cdot \frac{8}{17} = 2 \cdot 8 = 16,
\quad
34 \cdot \frac{9}{17} = 2 \cdot 9 = 18,
\quad
34 \cdot \frac{-12}{17} = 2 \cdot (-12) = -24.
$$
所以：
$$
\overrightarrow{AB} = (16,\ 18,\ -24).
$$
于是点 $B$ 的坐标为：
$$
B = A + \overrightarrow{AB}
= (2 + 16,\ -1 + 18,\ 7 - 24)
= (18,\ 17,\ -17).
$$
最终答案：
$$
\boxed{(18,\ 17,\ -17)}
$$
难度：★☆☆☆☆