人邮高数 第5章 第5-2-10题

[AI解答]

[AI解答]
设所求平面方程为
$$
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1,
$$
其中 $a, b, c > 0$。该平面与三个坐标面围成的四面体体积为
$$
V = \frac{1}{6} |abc| = \frac{abc}{6}.
$$
要求体积为 1，即
$$
\frac{abc}{6} = 1 \quad \Rightarrow \quad abc = 6.
$$

又因为平面与已知平面 $6x + y + 6z + 5 = 0$ 平行，所以它们的法向量平行。已知平面的法向量为 $(6, 1, 6)$，而所设平面的法向量为 $\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\right)$（由方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ 化为标准形式 $ \frac{1}{a}x + \frac{1}{b}y + \frac{1}{c}z = 1$ 可得）。

因此存在常数 $k \neq 0$ 使得
$$
\frac{1}{a} = 6k,\quad \frac{1}{b} = k,\quad \frac{1}{c} = 6k.
$$
于是
$$
a = \frac{1}{6k},\quad b = \frac{1}{k},\quad c = \frac{1}{6k}.
$$

代入体积条件 $abc = 6$：
$$
\frac{1}{6k} \cdot \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{6k} = \frac{1}{36 k^3} = 6.
$$
解得
$$
\frac{1}{36 k^3} = 6 \quad\Rightarrow\quad 1 = 216 k^3 \quad\Rightarrow\quad k^3 = \frac{1}{216} \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{6}.
$$

于是
$$
a = \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{6}} = 1,\quad b = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6,\quad c = \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{6}} = 1.
$$

所以平面方程为
$$
\frac{x}{1} + \frac{y}{6} + \frac{z}{1} = 1,
$$
即
$$
x + \frac{y}{6} + z = 1,
$$
或乘以 6 得
$$
6x + y + 6z = 6.
$$

因此所求平面方程为
$$
\boxed{6x + y + 6z = 6}.
$$

难度：★★☆☆☆