人邮高数 第5章 第5-3-16题

[AI解答]

[AI解答]
第一步：直线方向向量
直线 $l$ 由两平面交线给出，方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两平面法向量。
法向量：
$\vec{n}_1=(2,-3,4)$，$\vec{n}_2=(1,4,-2)$。
方向向量：
$$
\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -3 & 4 \\
1 & 4 & -2
\end{vmatrix}
$$
计算：
$$
\vec{s} = \big((-3)(-2)-4\cdot4,\; 4\cdot1-2\cdot(-2),\; 2\cdot4-(-3)\cdot1\big)
= (6-16,\;4+4,\;8+3) = (-10,\;8,\;11)
$$

第二步：求过直线且垂直于各坐标面的平面

(1) 垂直于 $xOy$ 面（即 $z=0$ 平面）
垂直于 $xOy$ 面的平面法向量平行于 $z$ 轴，即 $(0,0,1)$。
过直线且法向量为 $(0,0,1)$ 的平面方程可由直线的一般式消去 $z$ 得到：
从方程组消 $z$：
$2x-3y+4z-12=0$ 乘以1，$x+4y-2z-10=0$ 乘以2，相加：
$$
(2x-3y+4z-12) + 2(x+4y-2z-10)=0
$$
$$
2x-3y+4z-12 + 2x+8y-4z-20=0
$$
$$
4x+5y-32=0
$$
所以平面方程为：
$$
4x+5y-32=0
$$

(2) 垂直于 $yOz$ 面（即 $x=0$ 平面）
法向量为 $(1,0,0)$，消去 $x$：
由第二式 $x = -4y+2z+10$ 代入第一式：
$$
2(-4y+2z+10)-3y+4z-12=0
$$
$$
-8y+4z+20-3y+4z-12=0
$$
$$
-11y+8z+8=0
$$
即：
$$
11y-8z-8=0
$$

(3) 垂直于 $xOz$ 面（即 $y=0$ 平面）
法向量为 $(0,1,0)$，消去 $y$：
第一式乘以4，第二式乘以3，相加消 $y$：
$4(2x-3y+4z-12)=8x-12y+16z-48$
$3(x+4y-2z-10)=3x+12y-6z-30$
相加得：
$$
11x+10z-78=0
$$

所以三个平面方程分别为：
$$
\boxed{4x+5y-32=0},\quad \boxed{11y-8z-8=0},\quad \boxed{11x+10z-78=0}
$$

**第三步：求直线在平面 $3x+2y+z-10=0$ 上的投影**

投影直线是过原直线且垂直于给定平面的平面与给定平面的交线。

过直线 $l$ 的平面束方程：
$$
(2x-3y+4z-12) + \lambda(x+4y-2z-10)=0
$$
即：
$$
(2+\lambda)x + (-3+4\lambda)y + (4-2\lambda)z - (12+10\lambda)=0
$$
要求此平面垂直于给定平面 $3x+2y+z-10=0$，即法向量点积为0：
$$
(2+\lambda)\cdot3 + (-3+4\lambda)\cdot2 + (4-2\lambda)\cdot1 = 0
$$
计算：
$$
6+3\lambda -6+8\lambda +4-2\lambda = 0
$$
$$
(6-6+4) + (3\lambda+8\lambda-2\lambda)=0
$$
$$
4 + 9\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -\frac{4}{9}
$$

代入平面束：
$$
\left(2-\frac{4}{9}\right)x + \left(-3-\frac{16}{9}\right)y + \left(4+\frac{8}{9}\right)z - \left(12-\frac{40}{9}\right)=0
$$
化为整数系数（乘以9）：
$$
(18-4)x + (-27-16)y + (36+8)z - (108-40)=0
$$
$$
14x -43y +44z -68=0
$$

投影直线即为此平面与给定平面 $3x+2y+z-10=0$ 的交线：
$$
\boxed{\begin{cases}
14x-43y+44z-68=0,\\
3x+2y+z-10=0
\end{cases}}
$$

难度评级：★★★☆☆
（涉及直线方向、平面束、投影几何，计算量中等，需细心处理系数）