人邮高数 第6章 第6-2-1题
📝 题目
1．选择题．
（1）以下二元函数的性质中，（ ）是其他的充分条件。
A．连续
B．偏导数存在
C．可微
D．偏导数连续
（2）若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}$ 存在，则在 $P_{0}$ 处 （ ）
A．连续
B．可微
C．不一定连续
D．一定不连续
（3）设 $z=x^{y}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(\mathrm{e}, 1)}=(\quad)$ ．
A． 1
B． e
C． 0
D．$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$
（4）设 $\displaystyle z=\ln \frac{x}{y}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=(\quad)$ ．
A．$\displaystyle \frac{y}{x}$
B．$\displaystyle \frac{1}{x}$
C．$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}$
D．$\displaystyle \frac{1}{y}$
（5）设 $z=\mathrm{e}^{x y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$（ ）．
A． $\mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} x$
B．$(x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x) \mathrm{e}^{x y}$
C．$x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x$
D．$(x+y) \mathrm{e}^{x y}$
💡 答案解析
[AI解答]
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习题6-2 选择题解答
(1)
分析：二元函数中，偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续，且可微 ⇒ 偏导数存在。因此“偏导数连续”是其他性质的充分条件。
答案：D
(2)
分析：偏导数存在不能保证函数连续，例如
$$
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\\
0, & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
$$
在(0,0)处两个偏导数存在（均为0），但函数不连续。
答案：C
(3)
已知 $ z = x^y $，则
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x
$$
代入点 $(\mathrm{e}, 1)$：
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(\mathrm{e},1)} = \mathrm{e}^1 \ln \mathrm{e} = \mathrm{e} \cdot 1 = \mathrm{e}
$$
答案：B
(4)
已知 $ z = \ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y $，则
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x}
$$
答案：B
(5)
已知 $ z = \mathrm{e}^{xy} $，则
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y\mathrm{e}^{xy},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = x\mathrm{e}^{xy}
$$
全微分：
$$
\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y = y\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}x + x\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}y = (y\mathrm{d}x + x\mathrm{d}y)\mathrm{e}^{xy}
$$
答案：B
难度：★☆☆☆☆