人邮高数 第6章 第6-2-8题
📝 题目
8．求下列函数 $z=f(x, y)$ 的二阶偏导数 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
（1）$z=2 x^{2}+3 x y-y^{2}$ ；
（2）$z=\mathrm{e}^{a x} \cos b y$ ；
（3）$z=\cos ^{2}(2 x+3 y)$ ；
（4）$z=\ln \left(x+y^{2}\right)$ ；
（5）$z=\arcsin (x y)$ ；
（6）$z=x \sin (x+y)+y \cos (x+y)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下逐步计算各题的二阶偏导数。
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（1）$ z = 2x^2 + 3xy - y^2 $
一阶偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = 4x + 3y,\quad
\frac{\partial z}{\partial y} = 3x - 2y
$$
二阶偏导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 4,\quad
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2,\quad
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 3
$$
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（2）$ z = e^{ax} \cos(by) $
一阶偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = a e^{ax} \cos(by),\quad
\frac{\partial z}{\partial y} = -b e^{ax} \sin(by)
$$
二阶偏导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = a^2 e^{ax} \cos(by)
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -b^2 e^{ax} \cos(by)
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -ab e^{ax} \sin(by)
$$
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（3）$ z = \cos^2(2x+3y) $
先化为：
$$
z = \frac{1+\cos(4x+6y)}{2}
$$
一阶偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{2} \cdot 4 \sin(4x+6y) = -2\sin(4x+6y)
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{2} \cdot 6 \sin(4x+6y) = -3\sin(4x+6y)
$$
二阶偏导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2 \cdot 4 \cos(4x+6y) = -8\cos(4x+6y)
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -3 \cdot 6 \cos(4x+6y) = -18\cos(4x+6y)
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -2 \cdot 6 \cos(4x+6y) = -12\cos(4x+6y)
$$
---
（4）$ z = \ln(x + y^2) $
一阶偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y^2},\quad
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x+y^2}
$$
二阶偏导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{(x+y^2)^2}
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2(x+y^2) - 2y\cdot 2y}{(x+y^2)^2} = \frac{2x + 2y^2 - 4y^2}{(x+y^2)^2} = \frac{2x - 2y^2}{(x+y^2)^2}
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{2y}{(x+y^2)^2}
$$
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（5）$ z = \arcsin(xy) $
一阶偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{\sqrt{1 - x^2 y^2}},\quad
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2 y^2}}
$$
二阶偏导：
先求对 $x$ 的二阶：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) (1 - x^2 y^2)^{-3/2} \cdot (-2x y^2) = \frac{x y^3}{(1 - x^2 y^2)^{3/2}}
$$
对 $y$ 的二阶：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) (1 - x^2 y^2)^{-3/2} \cdot (-2x^2 y) = \frac{x^3 y}{(1 - x^2 y^2)^{3/2}}
$$
混合偏导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{y}{\sqrt{1 - x^2 y^2}} \right)
$$
使用商法则：
分子导数：$1 \cdot \sqrt{1 - x^2 y^2} - y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2 y^2}}(-2x^2 y)$
即：
$$
\sqrt{1 - x^2 y^2} + \frac{x^2 y^2}{\sqrt{1 - x^2 y^2}}
= \frac{1 - x^2 y^2 + x^2 y^2}{\sqrt{1 - x^2 y^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 y^2}}
$$
除以分母 $(1 - x^2 y^2)$ 得：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{(1 - x^2 y^2)^{3/2}}
$$
---
（6）$ z = x \sin(x+y) + y \cos(x+y) $
一阶偏导：
对 $x$：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \sin(x+y) + x \cos(x+y) - y \sin(x+y)
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = x \cos(x+y) + \cos(x+y) - y \sin(x+y)
= (x+1)\cos(x+y) - y \sin(x+y)
$$
二阶偏导：
对 $x$ 二阶：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \cos(x+y) + \cos(x+y) - x \sin(x+y) - y \cos(x+y)
= 2\cos(x+y) - x \sin(x+y) - y \cos(x+y)
$$
对 $y$ 二阶：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -(x+1)\sin(x+y) - \sin(x+y) - y \cos(x+y)
= -(x+2)\sin(x+y) - y \cos(x+y)
$$
混合偏导：
由 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 对 $y$ 求导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \cos(x+y) - x \sin(x+y) - \sin(x+y) - y \cos(x+y)
= \cos(x+y) - (x+1)\sin(x+y) - y \cos(x+y)
$$
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难度评级：★★☆☆☆
（均为常规初等函数求偏导，计算量不大，但需细心）