人邮高数 第6章 第6-2-9题
📝 题目
9．求函数 $z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 当 $x=1, y=2$ 时的全微分．
💡 答案解析
[AI解答]
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要求函数 $ z = \ln(1 + x^2 + y^2) $ 在点 $(x, y) = (1, 2)$ 处的全微分。
首先，全微分公式为：
$$
\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y.
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^2 + y^2},
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{1 + x^2 + y^2}.
$$
代入 $x = 1, y = 2$：
$$
1 + x^2 + y^2 = 1 + 1 + 4 = 6,
$$
因此
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)} = \frac{2 \cdot 1}{6} = \frac{1}{3},
$$
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)} = \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{2}{3}.
$$
所以全微分为：
$$
\mathrm{d}z = \frac{1}{3} \mathrm{d}x + \frac{2}{3} \mathrm{d}y.
$$
难度：★☆☆☆☆