人邮高数 第6章 第6-2-*16题
📝 题目
＊16．当 $x 、 y$ 的绝对值很小时，推出函数 $\displaystyle \arctan \frac{x y}{1+x y}$ 的近似公式．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求当 $x$ 和 $y$ 的绝对值很小时，函数
$$
\arctan \frac{x y}{1 + x y}
$$
的近似公式。
步骤1：变量替换
令
$$
u = \frac{x y}{1 + x y}
$$
当 $|x|, |y|$ 很小时，$|x y|$ 也很小，因此 $u$ 也很小。
**步骤2：使用 $\arctan u$ 的泰勒展开**
当 $u \to 0$ 时，有
$$
\arctan u = u - \frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} - \cdots
$$
因此，保留到一阶近似，我们有
$$
\arctan u \approx u
$$
**步骤3：代入 $u$ 的表达式**
于是
$$
\arctan \frac{x y}{1 + x y} \approx \frac{x y}{1 + x y}
$$
步骤4：进一步展开分母
由于 $|x y|$ 很小，还可以将 $\frac{1}{1 + x y}$ 展开：
$$
\frac{1}{1 + x y} = 1 - x y + (x y)^2 - \cdots
$$
所以
$$
\frac{x y}{1 + x y} = x y (1 - x y + (x y)^2 - \cdots) = x y - (x y)^2 + (x y)^3 - \cdots
$$
步骤5：保留最低阶近似
若只保留到一阶小量，则
$$
\arctan \frac{x y}{1 + x y} \approx x y
$$
因此，所求近似公式为：
$$
\boxed{\arctan \frac{x y}{1 + x y} \approx x y}
$$
难度：★☆☆☆☆