人邮高数 第6章 第6-2-*19题
📝 题目
＊19．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 试求 $f_{x y}(0,0)$ 及 $f_{y x}(0,0)$ 。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知函数
$$
f(x,y) =
\begin{cases}
\displaystyle{xy\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}, & (x,y)\neq(0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
$$
我们首先求一阶偏导数在原点处的值，再求混合偏导。
---
**第一步：求 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$**
由偏导数定义：
$$
f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
= \lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0.
$$
同理，
$$
f_y(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0.
$$
---
**第二步：求 $f_{xy}(0,0)$**
混合偏导定义为：
$$
f_{xy}(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k}.
$$
为此，先求 $f_x(0,k)$。当 $k\neq 0$ 时，点 $(0,k)\neq(0,0)$，故
$$
f_x(0,k) = \left.\frac{\partial}{\partial x}\left(xy\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)\right|_{(0,k)}.
$$
先对 $x$ 求偏导（视 $y$ 为常数）：
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(xy\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)
= y\cdot\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} + xy\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right).
$$
而
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)
= \frac{2x(x^{2}+y^{2}) - (x^{2}-y^{2})\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
= \frac{4xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
$$
因此
$$
f_x(x,y) = y\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} + xy\cdot\frac{4xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
= y\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} + \frac{4x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
$$
代入 $x=0$，得
$$
f_x(0,k) = k\cdot\frac{0 - k^{2}}{0+k^{2}} + 0 = k\cdot(-1) = -k.
$$
于是
$$
f_{xy}(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{-k - 0}{k} = -1.
$$
---
**第三步：求 $f_{yx}(0,0)$**
类似地，
$$
f_{yx}(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}.
$$
先求 $f_y(h,0)$。当 $h\neq 0$ 时，
$$
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\left(xy\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right).
$$
由对称性，交换 $x$ 与 $y$ 并注意符号：原函数关于 $x,y$ 是奇对称？我们直接计算：
$$
f_y(x,y) = x\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} + xy\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right).
$$
而
$$
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)
= \frac{-2y(x^{2}+y^{2}) - (x^{2}-y^{2})\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
= \frac{-4x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
$$
所以
$$
f_y(x,y) = x\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} - \frac{4x^{3}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
$$
代入 $y=0$，得
$$
f_y(h,0) = h\cdot\frac{h^{2}-0}{h^{2}+0} - 0 = h.
$$
于是
$$
f_{yx}(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{h - 0}{h} = 1.
$$
---
结论：
$$
\boxed{f_{xy}(0,0) = -1,\quad f_{yx}(0,0)=1}.
$$
可见混合偏导不相等，说明该函数在原点处二阶混合偏导不连续。
难度：★★★★☆