人邮高数 第6章 第6-3-16题

[AI解答]

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已知方程
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z=0
$$
这是一个隐函数方程，将 $z$ 视为 $x, y$ 的函数。先对方程两边关于 $x$ 求偏导（注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数）：

$$
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(z^{2}) - \frac{\partial}{\partial x}(4z) = 0
$$
即
$$
2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} - 4 \frac{\partial z}{\partial x} = 0
$$
整理得
$$
2x + (2z-4)\frac{\partial z}{\partial x} = 0
$$
解得
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2x}{2z-4} = \frac{x}{2-z}
$$

接下来再对 $x$ 求一次偏导，即求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$。对
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z}
$$
两边关于 $x$ 求偏导（注意 $z$ 仍是 $x$ 的函数），使用商法则：

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{(1)(2-z) - x\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)}{(2-z)^{2}}
$$
即
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{2-z + x\frac{\partial z}{\partial x}}{(2-z)^{2}}
$$
将 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z}$ 代入：

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{2-z + x\cdot \frac{x}{2-z}}{(2-z)^{2}}
= \frac{2-z + \frac{x^{2}}{2-z}}{(2-z)^{2}}
$$
通分分子：
$$
\frac{ \frac{(2-z)^{2} + x^{2}}{2-z} }{(2-z)^{2}} = \frac{(2-z)^{2} + x^{2}}{(2-z)^{3}}
$$

由原方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z=0$ 可得
$$
x^{2} = 4z - z^{2} - y^{2}
$$
但注意我们只需要关于 $x$ 的二阶偏导，可以保留 $x^{2}$ 形式，或利用原方程化简。由原方程得
$$
x^{2}+y^{2}+(z^{2}-4z+4)=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4
$$
因此
$$
(2-z)^{2} = (z-2)^{2} = 4 - x^{2} - y^{2}
$$
代入分子：
$$
(2-z)^{2} + x^{2} = (4 - x^{2} - y^{2}) + x^{2} = 4 - y^{2}
$$
于是
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{4 - y^{2}}{(2-z)^{3}}
$$

因此最终结果为
$$
\boxed{\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \dfrac{4 - y^{2}}{(2-z)^{3}}}
$$

难度：★★☆☆☆