人邮高数 第6章 第6-3-17题
📝 题目
17．设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=y f(z)$ 所确定（其中 $y f^{\prime} \neq 2 z$ ），试求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知隐函数方程
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=y f(z)
$$
其中 $y f'(z) \neq 2z$。要求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
**步骤1：对方程两边关于 $x$ 求偏导（视 $z$ 为 $x,y$ 的函数）**
$$
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(z^{2}) = \frac{\partial}{\partial x}\big(y f(z)\big)
$$
得到
$$
2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = y f'(z) \frac{\partial z}{\partial x}
$$
**步骤2：整理出 $\frac{\partial z}{\partial x}$**
将含 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的项移到一边：
$$
2z \frac{\partial z}{\partial x} - y f'(z) \frac{\partial z}{\partial x} = -2x
$$
即
$$
\big(2z - y f'(z)\big) \frac{\partial z}{\partial x} = -2x
$$
因此
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2x}{2z - y f'(z)}
$$
由条件 $y f'(z) \neq 2z$，分母不为零。
**步骤3：对方程两边关于 $y$ 求偏导**
$$
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(z^{2}) = \frac{\partial}{\partial y}\big(y f(z)\big)
$$
得到
$$
0 + 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} = f(z) + y f'(z) \frac{\partial z}{\partial y}
$$
**步骤4：整理出 $\frac{\partial z}{\partial y}$**
将含 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的项移到一边：
$$
2z \frac{\partial z}{\partial y} - y f'(z) \frac{\partial z}{\partial y} = f(z) - 2y
$$
即
$$
\big(2z - y f'(z)\big) \frac{\partial z}{\partial y} = f(z) - 2y
$$
因此
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{f(z) - 2y}{2z - y f'(z)}
$$
最终结果
$$
\boxed{\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2x}{2z - y f'(z)},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{f(z) - 2y}{2z - y f'(z)}}
$$
难度：★★☆☆☆