人邮高数 第6章 第6-3-18题

[AI解答]

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题目
已知方程
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz \quad (*)
$$
且 $f(x,y,z)=x y^{2} z^{3}$。
（1）设 $z=z(x,y)$ 是由(*)确定的隐函数，求 $f_x(1,1,1)$；
（2）设 $y=y(x,z)$ 是由(*)确定的隐函数，求 $f_x(1,1,1)$。

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（1）当 $z=z(x,y)$ 时

首先，$f(x,y,z(x,y)) = x\, y^{2}\, [z(x,y)]^{3}$。
对 $x$ 求偏导（注意 $y$ 视为常数，$z$ 是 $x,y$ 的函数）：

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} z^{3} + x y^{2} \cdot 3 z^{2} \frac{\partial z}{\partial x}.
$$

因此，在点 $(1,1,1)$ 处，先代入 $x=1,y=1,z=1$：

$$
f_x(1,1,1) = 1^{2}\cdot 1^{3} + 1\cdot 1^{2} \cdot 3\cdot 1^{2} \cdot \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)}.
$$

即
$$
f_x(1,1,1) = 1 + 3 \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)}.
$$

现在由方程 $(*)$ 对 $x$ 求偏导（$y$ 固定）：

$$
2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 3y z + 3x y \frac{\partial z}{\partial x}.
$$

代入 $x=1,y=1,z=1$：

$$
2 + 2 \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = 3\cdot 1\cdot 1 + 3\cdot 1\cdot 1 \cdot \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)}.
$$

即
$$
2 + 2 z_x = 3 + 3 z_x \quad\Rightarrow\quad 2z_x - 3z_x = 3 - 2 \quad\Rightarrow\quad -z_x = 1.
$$

所以
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = -1.
$$

代回得
$$
f_x(1,1,1) = 1 + 3(-1) = -2.
$$

（1）答案：$\boxed{-2}$

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（2）当 $y=y(x,z)$ 时

此时 $f(x,y(x,z),z) = x\, [y(x,z)]^{2}\, z^{3}$。
对 $x$ 求偏导（$z$ 固定）：

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} z^{3} + x \cdot 2y \frac{\partial y}{\partial x} \cdot z^{3}.
$$

代入点 $(1,1,1)$：

$$
f_x(1,1,1) = 1^{2}\cdot 1^{3} + 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1^{3} \cdot \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{(1,1)} = 1 + 2\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{(1,1)}.
$$

由方程 $(*)$ 对 $x$ 求偏导（$z$ 固定）：

$$
2x + 2y \frac{\partial y}{\partial x} = 3y z + 3x z \frac{\partial y}{\partial x}.
$$

代入 $x=1,y=1,z=1$：

$$
2 + 2\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{(1,1)} = 3\cdot 1\cdot 1 + 3\cdot 1\cdot 1 \cdot \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{(1,1)}.
$$

即
$$
2 + 2 y_x = 3 + 3 y_x \quad\Rightarrow\quad 2y_x - 3y_x = 3-2 \quad\Rightarrow\quad -y_x = 1.
$$

所以
$$
\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{(1,1)} = -1.
$$

代回得
$$
f_x(1,1,1) = 1 + 2(-1) = -1.
$$

（2）答案：$\boxed{-1}$

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难度评级：★★☆☆☆
（属于隐函数求导的基本应用，只需注意变量依赖关系并正确代入数值即可。）