人邮高数 第6章 第6-3-19题

[AI解答]

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已知方程
$$
x + y + z = e^{z}
$$
确定了隐函数 $z = z(x, y)$。我们首先对原方程两边分别对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x, y$ 的函数。

第一步：求一阶偏导数

对 $x$ 求偏导：
$$
\frac{\partial}{\partial x}(x + y + z) = \frac{\partial}{\partial x} e^{z}
$$
即
$$
1 + \frac{\partial z}{\partial x} = e^{z} \frac{\partial z}{\partial x}
$$
移项：
$$
1 = (e^{z} - 1) \frac{\partial z}{\partial x}
$$
所以
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{e^{z} - 1}
$$

同理，对 $y$ 求偏导：
$$
1 + \frac{\partial z}{\partial y} = e^{z} \frac{\partial z}{\partial y}
$$
得
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{e^{z} - 1}
$$
可见一阶偏导对称。

第二步：求二阶偏导数

先求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$：
由
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = (e^{z} - 1)^{-1}
$$
两边对 $x$ 再求偏导：
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = - (e^{z} - 1)^{-2} \cdot e^{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}
$$
代入 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{e^{z} - 1}$：
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{2}} \cdot \frac{1}{e^{z} - 1}
= - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}}
$$

再求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$：
对 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{2}} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}
$$
而 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{e^{z} - 1}$，所以
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}}
$$

最后求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$：
由对称性，与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ 相同：
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}}
$$

因此最终结果为：
$$
\boxed{\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}},\quad
\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}},\quad
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}}}
$$

难度：★★☆☆☆